740
Physique quantique : Exercices et applications
et l’intégration sur les angles
dΩs i n
2 θ =
8π
3
On en déduit (5.78)
Γ=
4ω
3
0
3c 2
d
2
4πε 0 c
Revenons maintenant au cas général : afin de calculer l’élément de matrice sous
la forme (17.129) par exemple, nous allons nous placer dans une représentation
où
R est diagonal
16
R fi =
d
3 rϕ
∗
f ( r) rϕ i ( r)
(17.132)
et nous allons séparer la partie radiale dépendant de r et la partie angulaire
dépendant de ˆ
r dans l’intégrale (17.132) en écrivant r = rˆ r. Afin de traiter un cas concret, nous prenons comme exemple la transition 2p → 1s de
l’atome d’hydrogène
17 . La fonction d’onde initiale s’écrit en fonction de sa
partie radiale (9.96) et de sa partie angulaire qui est l’harmonique sphérique
Y
m
1 (ˆ r)
ϕ
m
i ( r)=
1
4!a 5
0
r exp
−
r
2a 0
Y
m
1 (ˆ r)
(17.133)
tandis que la fonction d’onde finale est donnée par (15.31). Il est commode
d’introduire les composantes sphériques (9.64) des vecteurs e s ( ˆ
k) et r et de
remarquer
18 que le produit scalaire e
∗
s · ˆ
r vaut
e
∗
s · ˆ
r =( e s · ˆ
r)
∗ =
q=±1,0
e
∗
sq ˆ
r q
∗
=
q=±1,0
e sq ˆ
r
∗
q
D’autre part, le projecteur (17.30) orthogonal à k s’écrit en coordonnées
sphériques
2
s=1
e sq ( ˆ
k)e
∗
sq ′ ( ˆ
k)=δ qq ′ − ˆ
k q ˆ
k
∗
q ′
ce qui donne pour la partie angulaire
s
e
∗
s ( ˆ
k) ·f |ˆ r|i
2
=
qq ′
(δ qq ′ − ˆ
k q ˆ
k
∗
q ′ )f | ˆ
r
∗
q |ii| ˆ
r q ′ |f
16. Afin de simplifier les formules, nous ne tenons pas compte du spin, dont on montre
facilement qu’il ne joue aucun rôle.
17. Dans le cas général d’un état initial i de moment angulaire (j i ,m i ) et d’un état final
f de moment angulaire (j f ,m f ), on utilisera le théorème de Wigner-Eckart pour exprimer
l’élément de matrice des composantes sphériques Dq de
D sous la forme (17.117).
18. Le produit scalaire de deux vecteurs a et b est donné en fonction de leurs coodonnées
sphériques par
a · b =
q=±1,0
a
∗
q bq =
q=±1,0
(−1)
q a −q bq
Physique quantique : Exercices et applications
et l’intégration sur les angles
dΩs i n
2 θ =
8π
3
On en déduit (5.78)
Γ=
4ω
3
0
3c 2
d
2
4πε 0 c
Revenons maintenant au cas général : afin de calculer l’élément de matrice sous
la forme (17.129) par exemple, nous allons nous placer dans une représentation
où
R est diagonal
16
R fi =
d
3 rϕ
∗
f ( r) rϕ i ( r)
(17.132)
et nous allons séparer la partie radiale dépendant de r et la partie angulaire
dépendant de ˆ
r dans l’intégrale (17.132) en écrivant r = rˆ r. Afin de traiter un cas concret, nous prenons comme exemple la transition 2p → 1s de
l’atome d’hydrogène
17 . La fonction d’onde initiale s’écrit en fonction de sa
partie radiale (9.96) et de sa partie angulaire qui est l’harmonique sphérique
Y
m
1 (ˆ r)
ϕ
m
i ( r)=
1
4!a 5
0
r exp
−
r
2a 0
Y
m
1 (ˆ r)
(17.133)
tandis que la fonction d’onde finale est donnée par (15.31). Il est commode
d’introduire les composantes sphériques (9.64) des vecteurs e s ( ˆ
k) et r et de
remarquer
18 que le produit scalaire e
∗
s · ˆ
r vaut
e
∗
s · ˆ
r =( e s · ˆ
r)
∗ =
q=±1,0
e
∗
sq ˆ
r q
∗
=
q=±1,0
e sq ˆ
r
∗
q
D’autre part, le projecteur (17.30) orthogonal à k s’écrit en coordonnées
sphériques
2
s=1
e sq ( ˆ
k)e
∗
sq ′ ( ˆ
k)=δ qq ′ − ˆ
k q ˆ
k
∗
q ′
ce qui donne pour la partie angulaire
s
e
∗
s ( ˆ
k) ·f |ˆ r|i
2
=
qq ′
(δ qq ′ − ˆ
k q ˆ
k
∗
q ′ )f | ˆ
r
∗
q |ii| ˆ
r q ′ |f
16. Afin de simplifier les formules, nous ne tenons pas compte du spin, dont on montre
facilement qu’il ne joue aucun rôle.
17. Dans le cas général d’un état initial i de moment angulaire (j i ,m i ) et d’un état final
f de moment angulaire (j f ,m f ), on utilisera le théorème de Wigner-Eckart pour exprimer
l’élément de matrice des composantes sphériques Dq de
D sous la forme (17.117).
18. Le produit scalaire de deux vecteurs a et b est donné en fonction de leurs coodonnées
sphériques par
a · b =
q=±1,0
a
∗
q bq =
q=±1,0
(−1)
q a −q bq