17. Champ électromagnétique quantifié
739
l’élément de matrice f, n ks =1|W |i, n ks =0 étant donné par (contrairement
au § 17.3.3, nous avons maintenant E i >E f et ω 0 = E i − E f )
f, n ks =1|W |i, n ks =0 = −
q
m e
f, n ks =1|
A ·
P |i, n ks =0
= −
q
m e
2ε 0 Vω
f, n ks =1|
× a
†
ks
e
i k· r
e
∗
s ( ˆ
k) ·
P
|i, n ks =0
≃ iq e ω 0
2ε 0 ωV
f |
e
∗
s ( ˆ
k) ·
R
|i (17.128)
Nous avons utilisé l’approximation dipolaire exp(i k · r) ≃ 1 et exprimé l’élément de matrice de
P à l’aide de (17.112).
Pour obtenir la probabilité d’émission d’un photon dans l’angle solide dΩ,
il faut intégrer (17.127) sur ω ;l af o n c t i o nδ fixe l’énergie du photon à
ω = E i − E f = ω 0
ce qui donne, en utilisant (17.128) et en définissant
R fi = f |
R |i
dΓ
s
fi
dΩ
=
αω
3
0
2πc 2
e
∗
s ( ˆ
k) ·
R fi
2
(17.129)
Une expression équivalente utilise le moment dipolaire
D = q e
R
dΓ
s
fi
dΩ
=
1
4πε 0
ω
3
0
2πc 3
e
∗
s ( ˆ
k) ·
D fi
2
(17.130)
Pour obtenir la probabilité totale de transition Γ, qui est l’inverse de la vie
moyenne τ de l’état excité : τ =1/Γ,i lf a u ti n t é g r e rs u rΩ et sommer sur les
deux états de polarisation
Γ=
1
τ
=
2
s=1
dΓ
s
fi
dΩ
dΩ
(17.131)
Partons de cette équation et revenons brièvement sur le calcul conduisant à
l’équation (5.78) en récrivant (17.130) sous la forme
dΓ
dΩ
=
1
4πε 0 c
ω
3
0
2πc 2
e
∗
s ·
D fi
2
Supposons comme dans le § 5.4.1 que le dipôle ne puisse osciller que dans la
direction ˆ
z,
D fi = dˆ z, et choisissons e s réel. La somme sur les polarisations
donne
(ˆ z · e 1 )
2 +(ˆ z · e 2 )
2 =1− (ˆ z · ˆ
k)
2
739
l’élément de matrice f, n ks =1|W |i, n ks =0 étant donné par (contrairement
au § 17.3.3, nous avons maintenant E i >E f et ω 0 = E i − E f )
f, n ks =1|W |i, n ks =0 = −
q
m e
f, n ks =1|
A ·
P |i, n ks =0
= −
q
m e
2ε 0 Vω
f, n ks =1|
× a
†
ks
e
i k· r
e
∗
s ( ˆ
k) ·
P
|i, n ks =0
≃ iq e ω 0
2ε 0 ωV
f |
e
∗
s ( ˆ
k) ·
R
|i (17.128)
Nous avons utilisé l’approximation dipolaire exp(i k · r) ≃ 1 et exprimé l’élément de matrice de
P à l’aide de (17.112).
Pour obtenir la probabilité d’émission d’un photon dans l’angle solide dΩ,
il faut intégrer (17.127) sur ω ;l af o n c t i o nδ fixe l’énergie du photon à
ω = E i − E f = ω 0
ce qui donne, en utilisant (17.128) et en définissant
R fi = f |
R |i
dΓ
s
fi
dΩ
=
αω
3
0
2πc 2
e
∗
s ( ˆ
k) ·
R fi
2
(17.129)
Une expression équivalente utilise le moment dipolaire
D = q e
R
dΓ
s
fi
dΩ
=
1
4πε 0
ω
3
0
2πc 3
e
∗
s ( ˆ
k) ·
D fi
2
(17.130)
Pour obtenir la probabilité totale de transition Γ, qui est l’inverse de la vie
moyenne τ de l’état excité : τ =1/Γ,i lf a u ti n t é g r e rs u rΩ et sommer sur les
deux états de polarisation
Γ=
1
τ
=
2
s=1
dΓ
s
fi
dΩ
dΩ
(17.131)
Partons de cette équation et revenons brièvement sur le calcul conduisant à
l’équation (5.78) en récrivant (17.130) sous la forme
dΓ
dΩ
=
1
4πε 0 c
ω
3
0
2πc 2
e
∗
s ·
D fi
2
Supposons comme dans le § 5.4.1 que le dipôle ne puisse osciller que dans la
direction ˆ
z,
D fi = dˆ z, et choisissons e s réel. La somme sur les polarisations
donne
(ˆ z · e 1 )
2 +(ˆ z · e 2 )
2 =1− (ˆ z · ˆ
k)
2