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Physique quantique : Exercices et applications
Le couplage entre le champ électromagnétique
14 et l’atome est, au premier
ordre en A
W = −
q e
m e
A ·
P
(17.122)
Ce couplage indépendant du temps
A ·
P fait intervenir les termes
a ks e
i k· r
e s ( ˆ
k) ·
P
(17.123)
et
a
†
ks
e
−i k· r
e
∗
s ( ˆ
k) ·
P
(17.124)
Le terme (17.123) détruit un photon et le terme (17.124) crée un photon dans
le mode ( k, s).S o i t|i, n ks , un état initial où i décrit l’état de l’atome et
|f, n ks ± 1, un état final. Les éléments de matrice non nuls de a ks et a
†
ks
sont
donnés par (10.16) et (10.17)
n ks +1|a
†
ks
|n ks =
n ks +1
n ks − 1|a ks |n ks =
√ n ks
(17.125)
Nous allons examiner l’émission spontanée correspondant au cas n ks =0et
nous reviendrons brièvement sur l’absorption et l’émission induites en fin de
sous-section. La quantité physique intéressante est la probabilité par unité
de temps pour que l’atome émette un photon de vecteur d’onde ≃ k et de
polarisation s dans un angle solide dΩ, Ω=(θ, φ),autour
15 de k.Pourobtenir
cette probabilité, nous avons besoin de la densité d’états du photon
D(ω)=
V
(2π) 3 d
3 k =
V
(2π) 3 c 3 ω
2 dω dΩ
(17.126)
avec ω k → ω. La probabilité de transition par unité de temps est donnée par
la règle d’or de Fermi (8.152) avec un photon final ( k, s) d’énergie ω
dΓ
s
fi ( k, s)=
2π
||f, n ks =1|W |i, n ks =0|
2 δ(ω−(E i −E f ))
V
(2π) 3 c 3 ω
2 dω dΩ
(17.127)
14. On doit prendre le champ électromagnétique (17.33) à t =0 , c’est-à-dire dans le
point de vue de Schrödinger
A S = A H (t =0 )=
A, car nous utilisons le point de vue
de Schrödinger dans les calculs perturbatifs et les opérateurs
A et
P doivent être pris
dans ce point de vue. Dans les § 17.3.1 à 17.3.3, la dépendance par rapport au temps du
champ classique est fixée par une source externe, celle qui produit l’onde électromagnétique
incidente, alors que le champ quantifié est indépendant de toute source extérieure.
15. En toute rigueur, on doit préciser que l’on se place dans le référentiel où l’atome
initial est au repos. La conservation de l’énergie implique dans ce référentiel
E i − E f = ω +
2 k 2
2Mat
Le deuxième terme est l’énergie de recul, qui a été discutée au § 15.3.3. En général, cette
énergie de recul est négligeable : tout se passe comme si l’atome était infiniment lourd,
Mat →∞.
Physique quantique : Exercices et applications
Le couplage entre le champ électromagnétique
14 et l’atome est, au premier
ordre en A
W = −
q e
m e
A ·
P
(17.122)
Ce couplage indépendant du temps
A ·
P fait intervenir les termes
a ks e
i k· r
e s ( ˆ
k) ·
P
(17.123)
et
a
†
ks
e
−i k· r
e
∗
s ( ˆ
k) ·
P
(17.124)
Le terme (17.123) détruit un photon et le terme (17.124) crée un photon dans
le mode ( k, s).S o i t|i, n ks , un état initial où i décrit l’état de l’atome et
|f, n ks ± 1, un état final. Les éléments de matrice non nuls de a ks et a
†
ks
sont
donnés par (10.16) et (10.17)
n ks +1|a
†
ks
|n ks =
n ks +1
n ks − 1|a ks |n ks =
√ n ks
(17.125)
Nous allons examiner l’émission spontanée correspondant au cas n ks =0et
nous reviendrons brièvement sur l’absorption et l’émission induites en fin de
sous-section. La quantité physique intéressante est la probabilité par unité
de temps pour que l’atome émette un photon de vecteur d’onde ≃ k et de
polarisation s dans un angle solide dΩ, Ω=(θ, φ),autour
15 de k.Pourobtenir
cette probabilité, nous avons besoin de la densité d’états du photon
D(ω)=
V
(2π) 3 d
3 k =
V
(2π) 3 c 3 ω
2 dω dΩ
(17.126)
avec ω k → ω. La probabilité de transition par unité de temps est donnée par
la règle d’or de Fermi (8.152) avec un photon final ( k, s) d’énergie ω
dΓ
s
fi ( k, s)=
2π
||f, n ks =1|W |i, n ks =0|
2 δ(ω−(E i −E f ))
V
(2π) 3 c 3 ω
2 dω dΩ
(17.127)
14. On doit prendre le champ électromagnétique (17.33) à t =0 , c’est-à-dire dans le
point de vue de Schrödinger
A S = A H (t =0 )=
A, car nous utilisons le point de vue
de Schrödinger dans les calculs perturbatifs et les opérateurs
A et
P doivent être pris
dans ce point de vue. Dans les § 17.3.1 à 17.3.3, la dépendance par rapport au temps du
champ classique est fixée par une source externe, celle qui produit l’onde électromagnétique
incidente, alors que le champ quantifié est indépendant de toute source extérieure.
15. En toute rigueur, on doit préciser que l’on se place dans le référentiel où l’atome
initial est au repos. La conservation de l’énergie implique dans ce référentiel
E i − E f = ω +
2 k 2
2Mat
Le deuxième terme est l’énergie de recul, qui a été discutée au § 15.3.3. En général, cette
énergie de recul est négligeable : tout se passe comme si l’atome était infiniment lourd,
Mat →∞.