17. Champ électromagnétique quantifié
735
Le coefficient de Clebsch-Gordan ne peut être différent de zéro que si |j i −1|≤
j f ≤ j i +1 et si m f = q + m i . De plus, les parités de l’état initial et de l’état
final doivent être opposées : Π i Π f = −1. Les transitions dipolaires électriques
obéissent donc aux règles de sélection suivantes.
Règles de sélection pour les transitions dipolaires électriques
|j i − 1|≤j f ≤ j i +1
m f = m i + q, q = −1, 0, +1
Π i Π f = −1
Ceci généralise les résultats obtenus au § 9.5.2 dans le cas particulier j i =1
et j f =0. Les règles de sélection sur le nombre quantique magnétique m sont
directement liées à la conservation du moment angulaire suivant Oz,e td e s
exemples en ont déjà été donnés au § 9.5.2 et dans l’exercice 9.7.13.
17.3.3 Effet photoélectrique
Dans la sous-section précédente, nous avons étudié la transition entre deux
niveaux en généralisant les résultats de la section 5.3. Nous allons maintenant
nous intéresser à une transition vers le spectre continu : une onde électromagnétique de fréquence ω>R ∞ / et de polarisation e s arrive sur un atome
d’hydrogène dans son état fondamental. Dans un langage corpusculaire, la
condition ω>R ∞ / implique que l’énergie des photons est suffisante pour
ioniser l’atome en éjectant son électron, ce qui donne un exemple très simple
d’effet photoélectrique, et un cas où l’on peut mener jusqu’au bout des calculs
analytiques. D’après la règle d’or de Fermi et la définition (13.1) de la section
efficace, la section efficace de production des photo-électrons est, au premier
ordre de la théorie des perturbations en W
dσ
dΩ
=
2π
F
||f |W |i|
2 Vm e k e
(2π) 3 2
(17.118)
où k e est le vecteur d’onde de l’électron final. Lorsque ω ≫ R ∞ (mais ω ≪
m e c
2 de façon à préserver une cinématique non relativiste et à prévenir la
production de paires électron-positron
12 ), on peut négliger l’interaction de
l’électron final avec le proton et prendre pour état final une onde plane : c’est
l’approximation de Born
r |f = ϕ f ( r)=
1
√
V
e
i ke· r
Notons que l’approximation dipolaire n’est pas valable si l’énergie du photon
est trop grande. L’état initial est décrit par la fonction d’onde (15.31) de l’état
fondamental de l’atome d’hydrogène. L’élément de matrice f |W |i est donné
par (17.110)
f |W |i =
−
q e
2m e
|
A 0 | e s ·
d
3 r
1
√
V
e
i( k− ke)· r
−i
∇ϕ i ( r)
12. Cette approximation est valable dans le cas des rayon X, dont l’énergie va de 1 à
100 keV.
735
Le coefficient de Clebsch-Gordan ne peut être différent de zéro que si |j i −1|≤
j f ≤ j i +1 et si m f = q + m i . De plus, les parités de l’état initial et de l’état
final doivent être opposées : Π i Π f = −1. Les transitions dipolaires électriques
obéissent donc aux règles de sélection suivantes.
Règles de sélection pour les transitions dipolaires électriques
|j i − 1|≤j f ≤ j i +1
m f = m i + q, q = −1, 0, +1
Π i Π f = −1
Ceci généralise les résultats obtenus au § 9.5.2 dans le cas particulier j i =1
et j f =0. Les règles de sélection sur le nombre quantique magnétique m sont
directement liées à la conservation du moment angulaire suivant Oz,e td e s
exemples en ont déjà été donnés au § 9.5.2 et dans l’exercice 9.7.13.
17.3.3 Effet photoélectrique
Dans la sous-section précédente, nous avons étudié la transition entre deux
niveaux en généralisant les résultats de la section 5.3. Nous allons maintenant
nous intéresser à une transition vers le spectre continu : une onde électromagnétique de fréquence ω>R ∞ / et de polarisation e s arrive sur un atome
d’hydrogène dans son état fondamental. Dans un langage corpusculaire, la
condition ω>R ∞ / implique que l’énergie des photons est suffisante pour
ioniser l’atome en éjectant son électron, ce qui donne un exemple très simple
d’effet photoélectrique, et un cas où l’on peut mener jusqu’au bout des calculs
analytiques. D’après la règle d’or de Fermi et la définition (13.1) de la section
efficace, la section efficace de production des photo-électrons est, au premier
ordre de la théorie des perturbations en W
dσ
dΩ
=
2π
F
||f |W |i|
2 Vm e k e
(2π) 3 2
(17.118)
où k e est le vecteur d’onde de l’électron final. Lorsque ω ≫ R ∞ (mais ω ≪
m e c
2 de façon à préserver une cinématique non relativiste et à prévenir la
production de paires électron-positron
12 ), on peut négliger l’interaction de
l’électron final avec le proton et prendre pour état final une onde plane : c’est
l’approximation de Born
r |f = ϕ f ( r)=
1
√
V
e
i ke· r
Notons que l’approximation dipolaire n’est pas valable si l’énergie du photon
est trop grande. L’état initial est décrit par la fonction d’onde (15.31) de l’état
fondamental de l’atome d’hydrogène. L’élément de matrice f |W |i est donné
par (17.110)
f |W |i =
−
q e
2m e
|
A 0 | e s ·
d
3 r
1
√
V
e
i( k− ke)· r
−i
∇ϕ i ( r)
12. Cette approximation est valable dans le cas des rayon X, dont l’énergie va de 1 à
100 keV.