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Physique quantique : Exercices et applications
En physique classique, r est le vecteur joignant le noyau situé à l’origine des
coordonnées à l’électron externe, et q e r est le moment dipolaire électrique
d de
l’atome. La quantité f |q e
R|i est donc l’élément de matrice
D fi de l’opérateur
moment dipolaire électrique
D = q e
R entre les états |i et |f
D fi = f |
D|i = q e f |
R|i
(17.113)
En reportant ces résultats dans (17.111), on obtient la probabilité de transition
par unité de temps pour une polarisation e s
Γ fi =4π
2
e s ·
D fi
2
4πε 0 2 c
I(ω 0 )
(17.114)
=
4π
2 α
e s ·
R fi
2 I(ω 0 )
(17.115)
en accord avec (5.69) : le moment dipolaire d introduit phénoménologiquement
dans le § 5.3.2 prend une forme explicite pour l’atome à un électron
d
2 →
e s ·
D fi
2 = q
2
e
e s ·
R fi
2
L’expression (17.114) est plus générale que (17.115), et elle est valable pour
tout système atomique ou moléculaire lorsque les règles de sélection des transitions dipolaires électriques sont satisfaites : la probabilité de transition est
pilotée par l’élément de matrice de transition du dipôle électrique du système,
qui fait intervenir toutes les particules chargées. Un calcul identique permet
de déduire le taux d’émission stimulée Γ if , qui est aussi donné par (17.114) :
Γ if =Γ fi . En effet il suffit de remplacer D fi par D if = D
∗
fi pour passer de
l’absorption à l’émission. Suivant l’argument fondé sur les relations d’Einstein
du § 5.4.1, on déduit de Γ fi la probabilité d’émission spontanée d’un photon
en sommant sur les deux états possibles de polarisation : s =1, 2 et en prenant
la moyenne •• sur les angles et sur les spins
B
′ =
4ω
3
0
c 2
1
2
2
s=1
e s ·
D fi
2
4πε 0 c
=
2αω
3
0
c 2
2
s=1
e s ·
R fi
2
(17.116)
L’opérateur moment dipolaire électrique
D, tout comme l’opérateur position
R, est un opérateur vectoriel impair. Cette propriété de
D implique des règles
de sélection pour les transitions dipolaires électriques. En effet, le théorème de
Wigner-Eckart pour les opérateurs vectoriels donne l’expression des éléments
de matrice des composantes sphériques (9.145) D q de
D :s ij i et j f sont les
moments angulaires de l’état initial i et de l’état final f ,e tm i et m f les
nombres quantiques magnétiques, nous obtenons de (9.149)
j f m f |D q |j i m i = C
1ji
qmi;j f m f
j f ||D||j i
(17.117)
Physique quantique : Exercices et applications
En physique classique, r est le vecteur joignant le noyau situé à l’origine des
coordonnées à l’électron externe, et q e r est le moment dipolaire électrique
d de
l’atome. La quantité f |q e
R|i est donc l’élément de matrice
D fi de l’opérateur
moment dipolaire électrique
D = q e
R entre les états |i et |f
D fi = f |
D|i = q e f |
R|i
(17.113)
En reportant ces résultats dans (17.111), on obtient la probabilité de transition
par unité de temps pour une polarisation e s
Γ fi =4π
2
e s ·
D fi
2
4πε 0 2 c
I(ω 0 )
(17.114)
=
4π
2 α
e s ·
R fi
2 I(ω 0 )
(17.115)
en accord avec (5.69) : le moment dipolaire d introduit phénoménologiquement
dans le § 5.3.2 prend une forme explicite pour l’atome à un électron
d
2 →
e s ·
D fi
2 = q
2
e
e s ·
R fi
2
L’expression (17.114) est plus générale que (17.115), et elle est valable pour
tout système atomique ou moléculaire lorsque les règles de sélection des transitions dipolaires électriques sont satisfaites : la probabilité de transition est
pilotée par l’élément de matrice de transition du dipôle électrique du système,
qui fait intervenir toutes les particules chargées. Un calcul identique permet
de déduire le taux d’émission stimulée Γ if , qui est aussi donné par (17.114) :
Γ if =Γ fi . En effet il suffit de remplacer D fi par D if = D
∗
fi pour passer de
l’absorption à l’émission. Suivant l’argument fondé sur les relations d’Einstein
du § 5.4.1, on déduit de Γ fi la probabilité d’émission spontanée d’un photon
en sommant sur les deux états possibles de polarisation : s =1, 2 et en prenant
la moyenne •• sur les angles et sur les spins
B
′ =
4ω
3
0
c 2
1
2
2
s=1
e s ·
D fi
2
4πε 0 c
=
2αω
3
0
c 2
2
s=1
e s ·
R fi
2
(17.116)
L’opérateur moment dipolaire électrique
D, tout comme l’opérateur position
R, est un opérateur vectoriel impair. Cette propriété de
D implique des règles
de sélection pour les transitions dipolaires électriques. En effet, le théorème de
Wigner-Eckart pour les opérateurs vectoriels donne l’expression des éléments
de matrice des composantes sphériques (9.145) D q de
D :s ij i et j f sont les
moments angulaires de l’état initial i et de l’état final f ,e tm i et m f les
nombres quantiques magnétiques, nous obtenons de (9.149)
j f m f |D q |j i m i = C
1ji
qmi;j f m f
j f ||D||j i
(17.117)