17. Champ électromagnétique quantifié
733
Nous pouvons maintenant utiliser les résultats du § 8.5.3 : le terme en
exp(−iωt) de (17.109) correspond à l’absorption d’énergie par l’atome et le
terme en exp(iωt) à l’émission d’énergie. S’il existe deux niveaux d’énergie E i
et E f ,a v e cE i
énergie ω 0 dans une transition f → i. Dans une interprétation corpusculaire,
cela veut bien sûr dire que l’atome absorbe ou émet un photon d’énergie ω 0 ,
mais cette interprétation sort du cadre de la théorie semi-classique. D’après
(8.152), la probabilité par unité de temps d’absorption i → f est donnée par
Γ fi =
2π
q e
2m e
2
f | exp(i k · r)
A 0 ·
P |i
2
δ(E f − (E i + ω)) (17.110)
17.3.2 Approximation dipolaire
Introduisons un vecteur polarisation unitaire e s , e
∗
s · e s =1 , en écrivant
A 0 = |
A 0 | e s . L’intensité I(ω) par unité de fréquence est donnée par (17.103)
I(ω)=
1
2
ε 0 cω
2 |
A 0 (ω)|
2
Récrivons (17.110) en intégrant sur ω et en séparant le module carré de l’élément de matrice de transition des caractéristiques de l’onde incidente
Γ fi =
2π
q e
2m e
2
dω |
A 0 (ω)|
2
e s ··f | exp(i k · r)
P |i
2
δ(E f − (E i + ω))
=
4π
2 α
ω 2
0 m 2
e
I(ω 0 )
e s ··f | exp(i k · r)
P |i
2
(17.111)
L’élément de matrice de transition dans (17.111) se simplifie si l’on remarque
que la longueur d’onde émise ou absorbée, 0.1 μm < ∼ λ < ∼ 1 μm, est très grande
par rapport aux dimensions atomiques a 0 ∼ 0.1 nm, ce qui permet de remplacer exp(i k · r) par 1 car k · r∼ka 0 ∼ a 0 /λ ≪ 1
f |e
i k· r
P |i =
d
3 rϕ
∗
f ( r)e
i k· r
−i
∇
ϕ i ( r)
≃
d
3 rϕ
∗
f ( r)
−i
∇
ϕ i ( r)
De plus, on peut exprimer
P à l’aide de la relation de commutation entre
R
et H 0
[
R, H 0 ]=
i
m e
P
ce qui donne
f |
P |i =
m e
i
f |
RH 0 − H 0
R|i
=
m e
i
(E i − E f )f |
R|i = im e ω 0 f |
R|i
(17.112)
733
Nous pouvons maintenant utiliser les résultats du § 8.5.3 : le terme en
exp(−iωt) de (17.109) correspond à l’absorption d’énergie par l’atome et le
terme en exp(iωt) à l’émission d’énergie. S’il existe deux niveaux d’énergie E i
et E f ,a v e cE i
énergie ω 0 dans une transition f → i. Dans une interprétation corpusculaire,
cela veut bien sûr dire que l’atome absorbe ou émet un photon d’énergie ω 0 ,
mais cette interprétation sort du cadre de la théorie semi-classique. D’après
(8.152), la probabilité par unité de temps d’absorption i → f est donnée par
Γ fi =
2π
q e
2m e
2
f | exp(i k · r)
A 0 ·
P |i
2
δ(E f − (E i + ω)) (17.110)
17.3.2 Approximation dipolaire
Introduisons un vecteur polarisation unitaire e s , e
∗
s · e s =1 , en écrivant
A 0 = |
A 0 | e s . L’intensité I(ω) par unité de fréquence est donnée par (17.103)
I(ω)=
1
2
ε 0 cω
2 |
A 0 (ω)|
2
Récrivons (17.110) en intégrant sur ω et en séparant le module carré de l’élément de matrice de transition des caractéristiques de l’onde incidente
Γ fi =
2π
q e
2m e
2
dω |
A 0 (ω)|
2
e s ··f | exp(i k · r)
P |i
2
δ(E f − (E i + ω))
=
4π
2 α
ω 2
0 m 2
e
I(ω 0 )
e s ··f | exp(i k · r)
P |i
2
(17.111)
L’élément de matrice de transition dans (17.111) se simplifie si l’on remarque
que la longueur d’onde émise ou absorbée, 0.1 μm < ∼ λ < ∼ 1 μm, est très grande
par rapport aux dimensions atomiques a 0 ∼ 0.1 nm, ce qui permet de remplacer exp(i k · r) par 1 car k · r∼ka 0 ∼ a 0 /λ ≪ 1
f |e
i k· r
P |i =
d
3 rϕ
∗
f ( r)e
i k· r
−i
∇
ϕ i ( r)
≃
d
3 rϕ
∗
f ( r)
−i
∇
ϕ i ( r)
De plus, on peut exprimer
P à l’aide de la relation de commutation entre
R
et H 0
[
R, H 0 ]=
i
m e
P
ce qui donne
f |
P |i =
m e
i
f |
RH 0 − H 0
R|i
=
m e
i
(E i − E f )f |
R|i = im e ω 0 f |
R|i
(17.112)