17. Champ électromagnétique quantifié
729
Les éléments de matrice non diagonaux de W se déduisent de
ϕ
g
n |σ + a
† |ϕ
e
n = g ⊗ (n +1)|σ + a
† |e ⊗ n =
√
n +1
où nous avons utilisé (10.16), et la forme matricielle de H est
H = ω
n +
1
2
10
01
+
1
2
δ
Ω R
√
n +1
Ω R
√
n +1
−δ
(17.92)
Les vecteurs propres et valeurs propres (à une constante commune additive
près) de ce hamiltonien sont
E
−
n = −
1
2
δ 2 +(n +1)Ω 2
R
|χ
−
n = − sin θ n |ϕ
g
n +cosθ n |ϕ
e
n
E
+
n =
1
2
δ 2 +(n +1)Ω 2
R
|χ
+
n =cosθ n |ϕ
g
n +sinθ n |ϕ
e
n
(17.93)
où l’angle θ n est donné par
tan 2θ n =
Ω R
√
n +1
δ
(17.94)
Les vecteurs |χ
−
n et |χ
+
n sont les vecteurs propres de l’atome habillé (par le
champ électromagnétique). La figure 17.4 donne le schéma d’une expérience
réalisée par Brune et al. [1996a]. Des atomes de rubidium préparés dans un état
de Rydberg (exercice 15.4.4) |g ou |e passent d’abord dans une cavité microonde R 1 puis dans une cavité supraconductrice C résonante à la fréquence ω 0
et sont analysés dans une seconde cavité micro-onde R 2 . Supposons qu’un
atome dans l’état excité |e entre dans la cavité au temps t =0, et que celle-ci
soit vide (n =0 ). On se place à la résonance δ =0 , sin θ 0 =c o sθ 0 =1 /
√
2.
L’état |ϕ
e
0 se décompose sur |χ
±
0
|ϕ
e
0 =
1
√
2
|χ
+
0 + |χ
−
0
(17.95)
et le vecteur d’état est donné au temps t par
|ϕ(t) =
1
√
2
e
−iΩRt/2 |χ
+
0 + e
iΩRt/2 |χ
−
0
(17.96)
La probabilité de trouver au temps t l’atome dans son état excité est
||ϕ
e
0 |ϕ(t)|
2 =
1
4
e
−iΩRt/2 + e
iΩRt/2
2
=cos
2 Ω R t
2
(17.97)
Cette probabilité oscille en fonction de t avec la fréquence de Rabi du vide Ω R
(17.91). Ces oscillations proviennent de l’interaction entre l’atome et le champ
729
Les éléments de matrice non diagonaux de W se déduisent de
ϕ
g
n |σ + a
† |ϕ
e
n = g ⊗ (n +1)|σ + a
† |e ⊗ n =
√
n +1
où nous avons utilisé (10.16), et la forme matricielle de H est
H = ω
n +
1
2
10
01
+
1
2
δ
Ω R
√
n +1
Ω R
√
n +1
−δ
(17.92)
Les vecteurs propres et valeurs propres (à une constante commune additive
près) de ce hamiltonien sont
E
−
n = −
1
2
δ 2 +(n +1)Ω 2
R
|χ
−
n = − sin θ n |ϕ
g
n +cosθ n |ϕ
e
n
E
+
n =
1
2
δ 2 +(n +1)Ω 2
R
|χ
+
n =cosθ n |ϕ
g
n +sinθ n |ϕ
e
n
(17.93)
où l’angle θ n est donné par
tan 2θ n =
Ω R
√
n +1
δ
(17.94)
Les vecteurs |χ
−
n et |χ
+
n sont les vecteurs propres de l’atome habillé (par le
champ électromagnétique). La figure 17.4 donne le schéma d’une expérience
réalisée par Brune et al. [1996a]. Des atomes de rubidium préparés dans un état
de Rydberg (exercice 15.4.4) |g ou |e passent d’abord dans une cavité microonde R 1 puis dans une cavité supraconductrice C résonante à la fréquence ω 0
et sont analysés dans une seconde cavité micro-onde R 2 . Supposons qu’un
atome dans l’état excité |e entre dans la cavité au temps t =0, et que celle-ci
soit vide (n =0 ). On se place à la résonance δ =0 , sin θ 0 =c o sθ 0 =1 /
√
2.
L’état |ϕ
e
0 se décompose sur |χ
±
0
|ϕ
e
0 =
1
√
2
|χ
+
0 + |χ
−
0
(17.95)
et le vecteur d’état est donné au temps t par
|ϕ(t) =
1
√
2
e
−iΩRt/2 |χ
+
0 + e
iΩRt/2 |χ
−
0
(17.96)
La probabilité de trouver au temps t l’atome dans son état excité est
||ϕ
e
0 |ϕ(t)|
2 =
1
4
e
−iΩRt/2 + e
iΩRt/2
2
=cos
2 Ω R t
2
(17.97)
Cette probabilité oscille en fonction de t avec la fréquence de Rabi du vide Ω R
(17.91). Ces oscillations proviennent de l’interaction entre l’atome et le champ