728
Physique quantique : Exercices et applications
ainsi que σ 3
σ 3 = |gg|−|ee| =
10
0 −1
(17.84)
ce qui permet de récrire le hamiltonien d’interaction sous la forme
W =
1
2
λ(y)(σ + + σ − )
a + a
†
λ(y)=
2dg(y)
(17.85)
Le hamiltonien total est
H = H 0 +W = H at +H em +W = −
1
2
ω 0 σ 3 +ωa
† a+
1
2
λ(y)(σ + +σ − )
a + a
†
(17.86)
où H at est le hamiltonien de l’atome, H em celui du champ et W l’interaction
atome-champ. Comme au chapitre 5, nous allons nous placer dans le point de
vue de l’interaction en définissant pour un opérateur A
˜
A(t)=e
iH0t/ A e
−iH0t/ = e
i(Hat+Hem)t/ A e
−i(Hat+Hem )t/
(17.87)
Nous avons montré en (5.57) que l’évolution de ˜
σ ± (t) est donnée par
˜
σ ± (t)=e
iHatt/ σ ± e
−iHatt/ = σ ± e
∓iω0t
(17.88)
tandis que celles de ˜
a(t) et ˜
a
† (t) sont données par (17.17). Les dépendances
temporelles approchées des opérateurs qui apparaissent dans W sont donc
˜
σ − ˜
a ∝ e
−iδt
˜
σ + ˜
a
† ∝ e
iδt
˜
σ + ˜
a
† ∝ e
i(ω+ω0)t
˜
σ + ˜
a ∝ e
−i(ω+ω0)t
(17.89)
Les deux derniers termes de (17.89) oscillent rapidement en fonction du
temps et correspondent à des transitions qui ne conservent pas l’énergie : par
exemple, σ − a
† correspond à l’émission d’un photon alors que l’atome passe
de l’état fondamental à l’état excité. Au voisinage de la résonance, nous pouvons utiliser l’approximation séculaire et négliger ces termes. Il ne reste que les
termes σ − a et σ + a
† . Nous obtenons ainsi le hamiltonien de Jaynes-Cummings
H JC = −
1
2
ω 0 σ 3 + ωa
† a +
1
2
λ(y)
σ − a + σ + a
†
(17.90)
Ce hamiltonien couple uniquement les niveaux |ϕ
g
n et ϕ
e
n , et nous sommes
donc ramenés à un système à deux niveaux.
En pratique, on envoie l’atome dans la cavité suivant une certaine trajectoire, et nous allons supposer que sin ky =1le long de cette trajectoire. La
fréquence de Rabi du vide Ω R sera définie par
Ω R =
2d
ω
ε 0 V
(17.91)
Physique quantique : Exercices et applications
ainsi que σ 3
σ 3 = |gg|−|ee| =
10
0 −1
(17.84)
ce qui permet de récrire le hamiltonien d’interaction sous la forme
W =
1
2
λ(y)(σ + + σ − )
a + a
†
λ(y)=
2dg(y)
(17.85)
Le hamiltonien total est
H = H 0 +W = H at +H em +W = −
1
2
ω 0 σ 3 +ωa
† a+
1
2
λ(y)(σ + +σ − )
a + a
†
(17.86)
où H at est le hamiltonien de l’atome, H em celui du champ et W l’interaction
atome-champ. Comme au chapitre 5, nous allons nous placer dans le point de
vue de l’interaction en définissant pour un opérateur A
˜
A(t)=e
iH0t/ A e
−iH0t/ = e
i(Hat+Hem)t/ A e
−i(Hat+Hem )t/
(17.87)
Nous avons montré en (5.57) que l’évolution de ˜
σ ± (t) est donnée par
˜
σ ± (t)=e
iHatt/ σ ± e
−iHatt/ = σ ± e
∓iω0t
(17.88)
tandis que celles de ˜
a(t) et ˜
a
† (t) sont données par (17.17). Les dépendances
temporelles approchées des opérateurs qui apparaissent dans W sont donc
˜
σ − ˜
a ∝ e
−iδt
˜
σ + ˜
a
† ∝ e
iδt
˜
σ + ˜
a
† ∝ e
i(ω+ω0)t
˜
σ + ˜
a ∝ e
−i(ω+ω0)t
(17.89)
Les deux derniers termes de (17.89) oscillent rapidement en fonction du
temps et correspondent à des transitions qui ne conservent pas l’énergie : par
exemple, σ − a
† correspond à l’émission d’un photon alors que l’atome passe
de l’état fondamental à l’état excité. Au voisinage de la résonance, nous pouvons utiliser l’approximation séculaire et négliger ces termes. Il ne reste que les
termes σ − a et σ + a
† . Nous obtenons ainsi le hamiltonien de Jaynes-Cummings
H JC = −
1
2
ω 0 σ 3 + ωa
† a +
1
2
λ(y)
σ − a + σ + a
†
(17.90)
Ce hamiltonien couple uniquement les niveaux |ϕ
g
n et ϕ
e
n , et nous sommes
donc ramenés à un système à deux niveaux.
En pratique, on envoie l’atome dans la cavité suivant une certaine trajectoire, et nous allons supposer que sin ky =1le long de cette trajectoire. La
fréquence de Rabi du vide Ω R sera définie par
Ω R =
2d
ω
ε 0 V
(17.91)