17. Champ électromagnétique quantifié
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pour une fréquence ω ≃ ω 0 : nous nous plaçons donc au voisinage de la
résonance, en définissant comme au chapitre 5 le désaccord par δ = ω − ω 0 .
Soit |ϕ
g
n (resp. |ϕ
e
n ) l’état où l’atome est dans son niveau fondamental (resp.
excité) et où la cavité contient exactement n +1 (n) photons
|ϕ
g
n = |g ⊗ (n +1)| ϕ
e
n = |e ⊗ n
(17.78)
Les états |ϕ
g
n et ϕ
e
n ont pour énergies respectives, en prenant comme zéro
d’énergie la valeur moyenne de E g et E e
E
g
n = −
1
2
ω 0 +(n +1)ω
E
e
n =
1
2
ω 0 + nω = −
1
2
ω 0 +(n +1)ω − δ = E
g
n − δ
(17.79)
Ces états sont donc quasi-dégénérés car δ ≪ ω 0 . Cette propriété va nous
permettredenousrestreindreàl’espacedeHilbertdedimension2sous-tendu
par les vecteurs |ϕ
g
n et |ϕ
e
n .
Le couplage de l’atome au champ se fait par le moment dipolaire électrique
de transition
D, le hamiltonien d’interaction étant
W = −
D · E H (t =0)=−(
D · ˆ
z)
ω
ε 0 V
a + a
†
sin ky
= −(
D · ˆ
z)g(y)
a + a
†
(17.80)
où nous avons défini g(y) par
g(y)=
ω
ε 0 V
sin ky
(17.81)
Si les niveaux |g et |e ont une parité bien définie, l’atome dans l’état |g ou
|e ne peut pas posséder de moment dipolaire
g|
D|g = e|
D|e =0
et seuls les éléments de matrice non diagonaux peuvent être non nuls
g|
D · ˆ
z|e = e|
D · ˆ
z|g
∗ = d
Sans perte de généralité, nous pouvons supposer d réel, ce qui permet d’écrire
D · ˆ
z = d(|eg| + |ge|)
(17.82)
Il sera commode d’introduire les matrices de Pauli σ + et σ −
σ + = |ge| =
01
00
σ − = σ
†
+ = |eg| =
00
10
(17.83)