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Physique quantique : Exercices et applications
Revenons maintenant au point de vue de Schrödinger, où l’état final |Ψ
′
est donné en terme de l’état initial |Ψ par |Ψ
′ = U (λ)|Ψ, et examinons
d’abord le cas d’un photon unique incident dans le mode (a). Nous avons
donc
|Ψ = |1 a 0 b = a
† |0 a 0 b
Il est immédiat d’obtenir |Ψ
′
|Ψ
′ = U (λ)a
† |0 a 0 b = U (λ)a
† U
† (λ)U (λ)|0 a 0 b
=
a
† cos λ + ib
† sin λ
|0 a 0 b =cosλ|1 a 0 b + i sin λ|0 a 1 b (17.68)
L’amplitude de probabilité pour que le photon sorte dans le mode (a)e s t
cos λ, et l’amplitude de probabilité pour que le photon sorte dans le mode
(b)e s tisin λ, ce qui est conforme à (1.31). Pour retrouver le cas classique,
examinons l’action de la lame séparatrice sur un état cohérent |z du mode
(a), tandis que le mode (b) est vide. L’état initial est donné par
|Ψ = D a (z)|0 a 0 b = |z a ⊗|0 b
où D a (z) est l’opérateur de déplacement (10.40) pour le mode (a). |Ψ
′ est
donné par
|Ψ
′ = U (λ)D a (z)|0 a 0 b = U (λ)D a (z)U
† (λ)U (λ)|0 a 0 b
=e x p
a
† z cos λ − az
∗ cos λ
exp
ib
† z sin λ + ibz
∗ sin λ
|0 a 0 b
= D a (z cos λ) D b (iz sin λ)|0 a 0 b = |z cos λ ⊗ iz sin λ
(17.69)
où nous avons explicité le produit tensoriel : le résultat est un produit tensoriel de deux états cohérents. On retrouve manifestement l’action de la
lame séparatrice sur une onde classique, avec une répartition de l’intensité
(|t|
2 =cos
2 λ, |r|
2 =sin
2 λ) dans les deux voies de sortie.
Supposons maintenant que nous partions d’un état |1 a 1 b , où un photon
arrive dans le mode a et l’autre dans le mode b, de part et d’autre de la lame
séparatrice (figure 17.3)
|1 a 1 b = a
† b
† |0 a 0 b
La lame séparatrice transforme cet état en
|Ψ = U (λ)a
† b
† |0 a 0 b = U (λ)a
† b
† U
† (λ)|0 a 0 b
=
a
† cos λ + ib
† sin λ
ia
† sin λ + b
† cos λ
|0 a 0 b
=
i sin 2λ
√
2
(|2 a 0 b + |0 a 2 b )+cos2λ|1 a 1 b
(17.70)
où nous avons utilisé (a
† )
2 |0 =
√
2 |2 (cf. (10.18)). Si la lame séparatrice est
équilibrée, avec λ = π/4
|Ψ =
i
√
2
(|2 a 0 b + |0 a 2 b )
(17.71)
Physique quantique : Exercices et applications
Revenons maintenant au point de vue de Schrödinger, où l’état final |Ψ
′
est donné en terme de l’état initial |Ψ par |Ψ
′ = U (λ)|Ψ, et examinons
d’abord le cas d’un photon unique incident dans le mode (a). Nous avons
donc
|Ψ = |1 a 0 b = a
† |0 a 0 b
Il est immédiat d’obtenir |Ψ
′
|Ψ
′ = U (λ)a
† |0 a 0 b = U (λ)a
† U
† (λ)U (λ)|0 a 0 b
=
a
† cos λ + ib
† sin λ
|0 a 0 b =cosλ|1 a 0 b + i sin λ|0 a 1 b (17.68)
L’amplitude de probabilité pour que le photon sorte dans le mode (a)e s t
cos λ, et l’amplitude de probabilité pour que le photon sorte dans le mode
(b)e s tisin λ, ce qui est conforme à (1.31). Pour retrouver le cas classique,
examinons l’action de la lame séparatrice sur un état cohérent |z du mode
(a), tandis que le mode (b) est vide. L’état initial est donné par
|Ψ = D a (z)|0 a 0 b = |z a ⊗|0 b
où D a (z) est l’opérateur de déplacement (10.40) pour le mode (a). |Ψ
′ est
donné par
|Ψ
′ = U (λ)D a (z)|0 a 0 b = U (λ)D a (z)U
† (λ)U (λ)|0 a 0 b
=e x p
a
† z cos λ − az
∗ cos λ
exp
ib
† z sin λ + ibz
∗ sin λ
|0 a 0 b
= D a (z cos λ) D b (iz sin λ)|0 a 0 b = |z cos λ ⊗ iz sin λ
(17.69)
où nous avons explicité le produit tensoriel : le résultat est un produit tensoriel de deux états cohérents. On retrouve manifestement l’action de la
lame séparatrice sur une onde classique, avec une répartition de l’intensité
(|t|
2 =cos
2 λ, |r|
2 =sin
2 λ) dans les deux voies de sortie.
Supposons maintenant que nous partions d’un état |1 a 1 b , où un photon
arrive dans le mode a et l’autre dans le mode b, de part et d’autre de la lame
séparatrice (figure 17.3)
|1 a 1 b = a
† b
† |0 a 0 b
La lame séparatrice transforme cet état en
|Ψ = U (λ)a
† b
† |0 a 0 b = U (λ)a
† b
† U
† (λ)|0 a 0 b
=
a
† cos λ + ib
† sin λ
ia
† sin λ + b
† cos λ
|0 a 0 b
=
i sin 2λ
√
2
(|2 a 0 b + |0 a 2 b )+cos2λ|1 a 1 b
(17.70)
où nous avons utilisé (a
† )
2 |0 =
√
2 |2 (cf. (10.18)). Si la lame séparatrice est
équilibrée, avec λ = π/4
|Ψ =
i
√
2
(|2 a 0 b + |0 a 2 b )
(17.71)