17. Champ électromagnétique quantifié
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∆τ doit être fini, afin que l’on puisse distinguer un “avant” (t<−T )e tu n
“après” (t>T) du mélange par la lame séparatrice qui a lieu pour t ∼ 0.
Nous recherchons un hamiltonien susceptible de décrire le mélange en
terme d’opérateurs de champ a et b,oùa et b désignent les opérateurs d’annihilation des modes (a)e t( b). Un opérateur conduisant au résultat recherché
est
H = −g(t)
ab
† + a
† b
Dans cette équation, g(t) est une fonction lentement variable du temps, non
nulle dans un intervalle de temps [−T,+T ],a v ecT > ∼ ∆τ , et choisie telle que
son intégrale temporelle soit précisément le paramètre λ qui définit l’action
du diviseur de faisceau
+T
−T
g(t) dt = λ
Dans le point de vue de Heisenberg, qui est celui qui se raccorde le plus
directement à la description classique, les opérateurs évoluent en fonction du
temps, et entre −T et +T , a → c et b → d. Cette évolution est donnée par
un opérateur unitaire U (λ)
c = U
† (λ) aU(λ)
d = U
† (λ) bU(λ)
avec
U (λ)=exp
iλ
ab
† + a
† b
=exp[iλG]
G = ab
† + a
† b
(17.65)
L’équation (2.70) permet de calculer les opérateurs d’annihilation des modes
de sortie c et d
e
−iGλ a e
iGλ = a − iλ[G, a] −
λ
2
2!
[G, [G, a]] + ··· = a + iλb −
1
2!
λ
2 a + ···
= a cos λ + ib sin λ
En résumé, la loi de transformation de a et b est identique à celle des amplitudes ondulatoires
c = U
† (λ) aU(λ)=a cos λ + ib sin λ
d = U
† (λ) bU(λ)=ia sin λ + b cos λ
(17.66)
La forme exp(iGλ) de U montre que U (λ) appliqué sur le vide des deux modes
|0 a 0 b redonne |0 a 0 b ,c a rG|0 a 0 b =0
U (λ)|0 a 0 b = |0 a 0 b
et cette forme montre aussi que U
† (λ)=U (−λ), d’où l’on déduit
U (λ) a
† U
† (λ)=a
† cos λ + ib
† sin λ
U (λ) b
† U
† (λ)=ia
† sin λ + b
† cos λ
(17.67)