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Physique quantique : Exercices et applications
Lesv aleursmoyennesdea et a
† dans cet état sont nulles : ˜ z|a|˜ z = ˜ z|a
† |˜ z =
0, tandis que
˜ z|a
2 |˜ z = ˜ z|(a
† )
2 |˜ z
∗ = −e
iθ sinh r cosh r
˜ z|a
† a|˜ z =sinh
2 r
On en déduit les valeurs moyennes et les dispersions des opérateurs X 1 et X 2
∆ ˜
z X 1 =
1
2
(cosh 2r−cos θ sinh 2r)
1/2
∆ ˜
z X 2 =
1
2
(cosh 2r+cos θ sinh 2r)
1/2
Ces expressions se simplifient lorsque θ =0
θ =0 : ∆ ˜
z X 1 =
1
2
e
−r
∆ ˜
z X 2 =
1
2
e
r
(17.64)
On constate que, par rapport à (17.61), la dispersion de X 1 est réduite et
celle de X 2 augmentée, mais le produit ∆ ˜
z X 1 ∆ ˜
z X 2 reste constant et égal à
1/4 : les états comprimés, tout comme les état cohérents, saturent l’inégalité de Heisenberg. Les figures 17.2b et 17.2c montrent schématiquement la
représentation de Fresnel du champ électrique dans un état comprimé. On
voit que l’on peut, soit diminuer la dispersion sur la phase et augmenter celle
sur N , soit inversement diminuer la dispersion sur le nombre de photons et
augmenter celle sur φ.
17.2.2 Lames séparatrices et détection homodyne
Les opérateurs X 1 et X 2 définis en (17.58) et leur généralisation
X θ ,X [θ+π/2] définis ultérieurement dans cette sous-section peuvent être mesurés grâce à la détection homodyne, qui consiste à mélanger le champ à mesurer
avec un signal de référence de même fréquence que celle du champ. Avant de
décrire la détection homodyne, il est utile de transposer la discussion du § 1.4.5
sur l’action d’une lame séparatrice dans un formalisme opératoriel. Nous allons écrire l’analogue des relations (1.31) pour les opérateurs d’annihilation
du champ dans les modes d’entrée et de sortie d’une lame séparatrice, et,
comme dans le § 1.4.5, nous appelons (a)e t( b) les modes d’entrée, (c)e t
(d)l e sm o d e sd es o r t i e;( a)e t( b) étiquettent deux modes du champ représentant des paquets d’ondes qui se mélangent dans la lame séparatrice. Nous
choisissons une lame séparatrice déséquilibrée en posant
t =cosλr = i sin λ
L’équation (1.31) devient
c = a cos λ + ib sin λ
d = ia sin λ + b cos λ
Nous supposons que l’extension temporelle ∆τ des paquets d’ondes est suffisamment grande de telle sorte que la fréquence ω est bien définie. Cependant,
Physique quantique : Exercices et applications
Lesv aleursmoyennesdea et a
† dans cet état sont nulles : ˜ z|a|˜ z = ˜ z|a
† |˜ z =
0, tandis que
˜ z|a
2 |˜ z = ˜ z|(a
† )
2 |˜ z
∗ = −e
iθ sinh r cosh r
˜ z|a
† a|˜ z =sinh
2 r
On en déduit les valeurs moyennes et les dispersions des opérateurs X 1 et X 2
∆ ˜
z X 1 =
1
2
(cosh 2r−cos θ sinh 2r)
1/2
∆ ˜
z X 2 =
1
2
(cosh 2r+cos θ sinh 2r)
1/2
Ces expressions se simplifient lorsque θ =0
θ =0 : ∆ ˜
z X 1 =
1
2
e
−r
∆ ˜
z X 2 =
1
2
e
r
(17.64)
On constate que, par rapport à (17.61), la dispersion de X 1 est réduite et
celle de X 2 augmentée, mais le produit ∆ ˜
z X 1 ∆ ˜
z X 2 reste constant et égal à
1/4 : les états comprimés, tout comme les état cohérents, saturent l’inégalité de Heisenberg. Les figures 17.2b et 17.2c montrent schématiquement la
représentation de Fresnel du champ électrique dans un état comprimé. On
voit que l’on peut, soit diminuer la dispersion sur la phase et augmenter celle
sur N , soit inversement diminuer la dispersion sur le nombre de photons et
augmenter celle sur φ.
17.2.2 Lames séparatrices et détection homodyne
Les opérateurs X 1 et X 2 définis en (17.58) et leur généralisation
X θ ,X [θ+π/2] définis ultérieurement dans cette sous-section peuvent être mesurés grâce à la détection homodyne, qui consiste à mélanger le champ à mesurer
avec un signal de référence de même fréquence que celle du champ. Avant de
décrire la détection homodyne, il est utile de transposer la discussion du § 1.4.5
sur l’action d’une lame séparatrice dans un formalisme opératoriel. Nous allons écrire l’analogue des relations (1.31) pour les opérateurs d’annihilation
du champ dans les modes d’entrée et de sortie d’une lame séparatrice, et,
comme dans le § 1.4.5, nous appelons (a)e t( b) les modes d’entrée, (c)e t
(d)l e sm o d e sd es o r t i e;( a)e t( b) étiquettent deux modes du champ représentant des paquets d’ondes qui se mélangent dans la lame séparatrice. Nous
choisissons une lame séparatrice déséquilibrée en posant
t =cosλr = i sin λ
L’équation (1.31) devient
c = a cos λ + ib sin λ
d = ia sin λ + b cos λ
Nous supposons que l’extension temporelle ∆τ des paquets d’ondes est suffisamment grande de telle sorte que la fréquence ω est bien définie. Cependant,