17. Champ électromagnétique quantifié
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tandis que, suivant (10.39) et (17.58)
X 1 z =Rez
X 2 z =Imz
∆ z X 1 =∆ z X 2 =
1
2
(17.61)
L’inégalité de Heisenberg (17.59) est donc saturée quand le champ se trouve
dans un état cohérent, en conformité avec les résultats du § 10.2. La valeur
moyenne E(t) z du champ est donnée par (17.56). Nous pouvons maintenant
interpréter physiquement les résultats du § 10.2.2 pour le champ électromagnétique dans un état cohérent. Ainsi que nous l’avons vu en (10.46), le champ
fluctue en amplitude et en phase autour de sa valeur moyenne (17.56). La fluctuation en amplitude est en valeur relative ∆ z E/E≃1/2|z| =1 /2N
1/2 ,
où N est le nombre moyen de photons et ∆ z N = N
1/2 , tandis que la
fluctuation de phase vérifie (10.46) : ∆ z φ∆ z N ≃ 1/2 (figure 17.2a).
(c)
(b)
(a)
∆φ
∆ N
∆ N
∆φ
∆φ
∆ N
Fig. 17.2 – Représentation de Fresnel du champ électrique. La zone hachurée représente la dispersion sur l’extrémité du champ. (a) État cohérent. (b) et (c) États
comprimés.
Il existe un autre type d’états intéressants, les états comprimés. Définissons
l’opérateur unitaire
S(˜ z)=exp
1
2
˜
z
∗ a
2 − ˜
za
† 2
= e
X
(17.62)
où ˜
z est un nombre complexe, ˜
z = r exp(iθ),e tc a l c u l o n sS
† (˜ z)aS(˜ z) en utilisant (2.70) et X = −X
†
S
† (˜ z)aS(˜ z)=a − [X, a]+
1
2!
[X, [X, a]] + ···
Un calcul immédiat montre que
S
† (˜ z)aS(˜ z)=a cosh r − a
† e
iθ sinh r
On définit l’état comprimé |˜ z par
|˜ z = S(˜ z)|0
(17.63)