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Physique quantique : Exercices et applications
d’où la dispersion ∆ n E dans l’état |n
∆ n E =
n|E
2 |n−−n|E|n
2 1/2 =
ω(2n +1)
ε 0 V
(17.55)
Cette dispersion croît comme la racine carrée du nombre de photons lorsque
n ≫ 1. La phase est indéterminée dans un état de Fock, puisque ∆N =0 .
Même si le nombre de photons est très grand, un état de Fock est complètement non classique.
Des états plus fréquents en pratique que ceux à nombre de photons fixé
sont les états cohérents |z. En effet, la grande majorité des sources lumineuses
usuelles émettent des états du champ électromagnétique très proches d’un
état cohérent (laser), ou d’un mélange statistique d’états cohérents (source
classique). Calculons la valeur moyenne de E(t) dans un état cohérent en
posant z = |z| exp(iθ)
z|E(t)|z =
ω
ε 0 V
ze
−iωt + z
∗ e
iωt
=2
ω
ε 0 V
|z| cos(ωt − θ)
(17.56)
tandis que
z|E
2 (t)|z =
ω
ε 0 V
ze
−iωt + z
∗ e
iωt 2 +1
La dispersion ∆ z E dans un état cohérent est identique à la dispersion dans le
vide
∆ z E =
z|E
2 (t)|z−−z|E(t)|z
2 1/2 =
ω
ε 0 V
=∆ 0 E
(17.57)
Rappelons que le nombre moyen de photons est N z = z|N |z = |z|
2 et la
dispersion ∆ z N = |z| : lorsque le nombre moyen N z de photons augmente, la
valeur moyenne du champ électrique croît comme
N z , mais la dispersion
reste constante. La distribution des valeurs de E est de plus en plus piquée
relativement à la valeur moyenne, et cette valeur moyenne évolue comme un
champ classique.
Définissons les opérateurs hermitiens X 1 et X 2 ,o uopérateurs de quadrature par
X 1 =
1
2
a + a
†
X 2 =
1
2i
a − a
†
(17.58)
qui vérifient la relation de commutation [X 1 ,X 2 ]=i/2, d’où l’on tire l’inégalité de Heisenberg
∆X 1 ∆X 2 ≥
1
4
(17.59)
Un calcul immédiat montre que
E(t)=2
ω
ε 0 V
X 1 cos ωt + X 2 sin ωt
(17.60)