17. Champ électromagnétique quantifié
719
dus à la diffraction ou pour un mode dans une cavité supraconductrice. Le
champ électrique (17.19) s’écrit
E(t)=
ω
ε 0 V
a e
−iωt + a
† e
iωt
(17.53)
Nous avons supprimé l’indice H et la notation vectorielle afin d’alléger l’écriture. Calculons d’abord les fluctuations de E dans l’état du vide en utilisant
ae
−iωt + a
† e
iωt 2 = a
2 e
−2iωt +(a
† )
2 e
2iωt +2a
† a + I
Seul le dernier terme donne un résultat non nul quand on prend la valeur
moyenne sur le vide et
0|E
2 (t)|0 =
ω
ε 0 V
d’où la dispersion
∆ 0 E =
0|E
2 (t)|0−−0|E(t)|0
2 1/2 =
ω
ε 0 V
(17.54)
Les fluctuations quantiques du champ électromagnétique ont des conséquences
physiques importantes : outre l’effet Casimir (exercice 17.5.6), elles sont aussi
à l’origine du clivage entre les niveaux 2s 1/2 et 2p 1/2 de l’atome d’hydrogène,
dégénérés à l’approximation de la théorie relativiste de Dirac (cf. § 19.3.5), et
qui est appelé déplacement Lamb. Ce déplacement ≃ 4.38 × 10
−6 eV est une
fraction de l’ordre de 10
−7 de la différence d’énergie entre les niveaux 1s et
2s, et il vaut 1058 MHz en unités de fréquence
11 . Ces fluctuations sont aussi
responsables du moment magnétique anormal de l’électron : alors que l’invariance galiléenne et la théorie de Dirac prédisent un facteur gyromagnétique
de l’électron γ e = q e /m e , ce facteur est en fait
γ e =
q e
m e
1+
α
2π
+ O(α
2 )
où α ≃ 1/137 est la constante de structure fine.
Dans un état à nombre de photons n fixé (dans le mode considéré),
aussi appelé état de Fock, la valeur moyenne de E(t) est nulle car n|a|n =
n|a
† |n =0, tandis que celle de E
2 (t) vaut d’après (10.12)
n|E
2 (t)|n =
ω(2n +1)
ε 0 V
11. Une faible partie de ce déplacement (−27 MHz ≃ 3% ) est due, non aux fluctuations
du champ électromagnétique, mais à celles du champ électron-positron. La création de
paires (virtuelles) électron-positron a un effet d’écran sur le champ coulombien et agit
comme une constante diélectrique du vide. L’effet est beaucoup plus important pour les
atomes muoniques : cf. l’exercice 15.4.3 et la note 37 du chapitre 1.
719
dus à la diffraction ou pour un mode dans une cavité supraconductrice. Le
champ électrique (17.19) s’écrit
E(t)=
ω
ε 0 V
a e
−iωt + a
† e
iωt
(17.53)
Nous avons supprimé l’indice H et la notation vectorielle afin d’alléger l’écriture. Calculons d’abord les fluctuations de E dans l’état du vide en utilisant
ae
−iωt + a
† e
iωt 2 = a
2 e
−2iωt +(a
† )
2 e
2iωt +2a
† a + I
Seul le dernier terme donne un résultat non nul quand on prend la valeur
moyenne sur le vide et
0|E
2 (t)|0 =
ω
ε 0 V
d’où la dispersion
∆ 0 E =
0|E
2 (t)|0−−0|E(t)|0
2 1/2 =
ω
ε 0 V
(17.54)
Les fluctuations quantiques du champ électromagnétique ont des conséquences
physiques importantes : outre l’effet Casimir (exercice 17.5.6), elles sont aussi
à l’origine du clivage entre les niveaux 2s 1/2 et 2p 1/2 de l’atome d’hydrogène,
dégénérés à l’approximation de la théorie relativiste de Dirac (cf. § 19.3.5), et
qui est appelé déplacement Lamb. Ce déplacement ≃ 4.38 × 10
−6 eV est une
fraction de l’ordre de 10
−7 de la différence d’énergie entre les niveaux 1s et
2s, et il vaut 1058 MHz en unités de fréquence
11 . Ces fluctuations sont aussi
responsables du moment magnétique anormal de l’électron : alors que l’invariance galiléenne et la théorie de Dirac prédisent un facteur gyromagnétique
de l’électron γ e = q e /m e , ce facteur est en fait
γ e =
q e
m e
1+
α
2π
+ O(α
2 )
où α ≃ 1/137 est la constante de structure fine.
Dans un état à nombre de photons n fixé (dans le mode considéré),
aussi appelé état de Fock, la valeur moyenne de E(t) est nulle car n|a|n =
n|a
† |n =0, tandis que celle de E
2 (t) vaut d’après (10.12)
n|E
2 (t)|n =
ω(2n +1)
ε 0 V
11. Une faible partie de ce déplacement (−27 MHz ≃ 3% ) est due, non aux fluctuations
du champ électromagnétique, mais à celles du champ électron-positron. La création de
paires (virtuelles) électron-positron a un effet d’écran sur le champ coulombien et agit
comme une constante diélectrique du vide. L’effet est beaucoup plus important pour les
atomes muoniques : cf. l’exercice 15.4.3 et la note 37 du chapitre 1.