718
Physique quantique : Exercices et applications
Le champ quantifié
A a été écrit dans la jauge de Coulomb. C’est la jauge
la plus commode pour traiter les problèmes élémentaires, mais ce n’est pas la
jauge qui convient pour traiter l’électrodynamique quantique de façon générale. En effet, la condition
∇·
A =0privilégie un référentiel d’inertie particulier
et l’invariance de Lorentz de la théorie n’est pas manifeste. Naturellement, il
ne s’agit pas d’un défaut rédhibitoire, car il est possible de vérifier tous calculs faits l’invariance de Lorentz des résultats physiques. Le véritable défaut
de la jauge de Coulomb est qu’elle conduit à des calculs inextricables car le
programme de renormalisation (élimination des infinis) exige que l’on maintienne de façon explicite l’invariance de Lorentz, si l’on veut garder des calculs
maniables
9 . Une jauge où l’invariance de Lorentz est manifeste est la jauge de
Lorentz
10
∂V
∂t
+
∇·
A =0
Cependant, la jauge de Lorentz introduit des états non physiques, que l’on
doit correctement interpréter et éliminer des résultats physiques. Ces états non
physiques n’apparaissent pas dans la jauge de Coulomb, qui est un exemple
de “jauge physique”. Malheureusement, on ne peut pas à la fois utiliser une
jauge physique et conserver l’invariance de Lorentz formelle.
17.2 États du champ électromagnétique
17.2.1 Fluctuations quantiques du champ
électromagnétique
Le champ électromagnétique quantifié est un opérateur et on doit pouvoir
observer ses fluctuations quantiques. Dans l’état à zéro photon, ou état du vide
|0, la valeur moyenne des champs électrique (17.49) et magnétique (17.50)
est nulle
0| E H ( r, t)|0 = 0|
B H ( r, t)|0 =0
car 0|a ks |0 = 0|a
†
ks
|0 =0, mais la nullité des valeurs moyennes n’implique
pas celle des fluctuations ! Ces fluctuations ont des conséquences physiques
importantes, et nous allons les examiner successivement dans plusieurs types
d’états du champ : le vide, les états à nombre de photons fixé, les états cohérents et les états comprimés. Afin de simplifier la discussion, nous nous
limitons à un seul mode comme dans le § 17.1.1 de vecteur d’onde k et de
polarisation s fixés, a ks → a, ω k → ω, en nous plaçant de plus à y =0 .
Cette restriction à un mode unique est souvent une bonne approximation, par
exemple pour un laser monomode si l’on peut négliger les effets transverses
9. D’un point de vue technique, les contre-termes qui éliminent les infinis sont contraints
par l’invariance de Lorentz, si le choix de jauge respecte cette invariance formelle.
10. Cette invariance de Lorentz formelle est manifeste en notation quadri-dimensionnelle
(voir (19.13)) : ∂µA µ =0, A µ =( V,
A).
Physique quantique : Exercices et applications
Le champ quantifié
A a été écrit dans la jauge de Coulomb. C’est la jauge
la plus commode pour traiter les problèmes élémentaires, mais ce n’est pas la
jauge qui convient pour traiter l’électrodynamique quantique de façon générale. En effet, la condition
∇·
A =0privilégie un référentiel d’inertie particulier
et l’invariance de Lorentz de la théorie n’est pas manifeste. Naturellement, il
ne s’agit pas d’un défaut rédhibitoire, car il est possible de vérifier tous calculs faits l’invariance de Lorentz des résultats physiques. Le véritable défaut
de la jauge de Coulomb est qu’elle conduit à des calculs inextricables car le
programme de renormalisation (élimination des infinis) exige que l’on maintienne de façon explicite l’invariance de Lorentz, si l’on veut garder des calculs
maniables
9 . Une jauge où l’invariance de Lorentz est manifeste est la jauge de
Lorentz
10
∂V
∂t
+
∇·
A =0
Cependant, la jauge de Lorentz introduit des états non physiques, que l’on
doit correctement interpréter et éliminer des résultats physiques. Ces états non
physiques n’apparaissent pas dans la jauge de Coulomb, qui est un exemple
de “jauge physique”. Malheureusement, on ne peut pas à la fois utiliser une
jauge physique et conserver l’invariance de Lorentz formelle.
17.2 États du champ électromagnétique
17.2.1 Fluctuations quantiques du champ
électromagnétique
Le champ électromagnétique quantifié est un opérateur et on doit pouvoir
observer ses fluctuations quantiques. Dans l’état à zéro photon, ou état du vide
|0, la valeur moyenne des champs électrique (17.49) et magnétique (17.50)
est nulle
0| E H ( r, t)|0 = 0|
B H ( r, t)|0 =0
car 0|a ks |0 = 0|a
†
ks
|0 =0, mais la nullité des valeurs moyennes n’implique
pas celle des fluctuations ! Ces fluctuations ont des conséquences physiques
importantes, et nous allons les examiner successivement dans plusieurs types
d’états du champ : le vide, les états à nombre de photons fixé, les états cohérents et les états comprimés. Afin de simplifier la discussion, nous nous
limitons à un seul mode comme dans le § 17.1.1 de vecteur d’onde k et de
polarisation s fixés, a ks → a, ω k → ω, en nous plaçant de plus à y =0 .
Cette restriction à un mode unique est souvent une bonne approximation, par
exemple pour un laser monomode si l’on peut négliger les effets transverses
9. D’un point de vue technique, les contre-termes qui éliminent les infinis sont contraints
par l’invariance de Lorentz, si le choix de jauge respecte cette invariance formelle.
10. Cette invariance de Lorentz formelle est manifeste en notation quadri-dimensionnelle
(voir (19.13)) : ∂µA µ =0, A µ =( V,
A).