17. Champ électromagnétique quantifié
717
On déduit de (17.48) l’expression du champ électrique quantifié E H =
−∂ A H /∂t
E H ( r, t)=i
2ε 0 V
k
2
s=1
√
ω k
a ks e s ( k)e
i( k· r−ω k t) − a
†
ks
e
∗
s ( k)e
−i( k· r−ω k t)
(17.49)
On remarquera que le facteur de normalisation global diffère de 1/
√
2 en
comparaison de celui figurant en (17.14). Ceci vient de ce que les fonctions
d’onde normalisées pour une dimension d’espace (y)sont,soit
1/L exp(iky),
soit
2/L sin ky. Pour le champ magnétique, on utilise (17.28)
B H ( r, t)=
2ε 0 V
k
2
s=1
i
c
√ ω k ˆ
k
×
a ks e s ( k) e
i( k· r−ω k t) − a
†
ks
e
∗
s ( k) e
−i( k· r−ω k t)
(17.50)
où × désigne un produit vectoriel. Comme dans une onde plane classique, on
vérifie la relation
B =( ˆ
k/c) × E.I le s tf a c i l e ,c o m m ed a n sl ec a sd uc h a m p
bosonique scalaire (§ 14.4.3), de calculer les commutateurs des diverses composantes du champ à t =0. On trouve les relations de commutation suivantes
entre la composante A i du champ et celle −ε 0 E j de son moment conjugué
7
(exercice 17.5.3)
[A i ( r), −ε 0 E j ( r
′ )] = i
d
3 k
(2π) 3 e
i k·( r− r
′ )
δ ij − ˆ
k i ˆ
k j
I
(17.51)
où nous avons utilisé (8.133). On en déduit que E x commute avec B x ,m a i s
non avec B y ou B z : on ne peut pas mesurer simultanément au même point la
composante x du champ électrique et la composante y du champ magnétique.
Il est possible d’écrire un couplage du champ quantifié avec une source
classique j em ( r, t) de la forme
W (t)=−
d
3 rr j em ( r, t) · A( r)
(17.52)
Ce couplage généralise celui de l’oscillateur harmonique forcé de l’exercice 10.4.4 : la force f (t) est remplacée par la source j em et l’opérateur position
Q par le champ quantifié
A. On peut alors montrer que si l’on part d’un état
à zéro photon et si la source agit pendant un temps fini, on obtient un état
cohérent du champ électromagnétique, où le nombre de photons dans un mode
k est donné par une loi de Poisson dont la valeur moyenne est déterminée par
| j em ( k, ω k )|
2 , j em ( k, ω k ) étant la transformée de Fourier quadridimensionnelle
8
de j em ( r, t).
7. L’application des principes de la mécanique analytique au champ électromagnétique
montre que le moment conjugué de A i est −ε 0 E i ; voir par exemple Weinberg [1995].
8. Voir l’exercice 17.5.3. On trouvera un traitement détaillé par exemple dans
Le Bellac [1988], chapitre 9 ou Itzykson et Zuber [1980], chapitre 4.
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On déduit de (17.48) l’expression du champ électrique quantifié E H =
−∂ A H /∂t
E H ( r, t)=i
2ε 0 V
k
2
s=1
√
ω k
a ks e s ( k)e
i( k· r−ω k t) − a
†
ks
e
∗
s ( k)e
−i( k· r−ω k t)
(17.49)
On remarquera que le facteur de normalisation global diffère de 1/
√
2 en
comparaison de celui figurant en (17.14). Ceci vient de ce que les fonctions
d’onde normalisées pour une dimension d’espace (y)sont,soit
1/L exp(iky),
soit
2/L sin ky. Pour le champ magnétique, on utilise (17.28)
B H ( r, t)=
2ε 0 V
k
2
s=1
i
c
√ ω k ˆ
k
×
a ks e s ( k) e
i( k· r−ω k t) − a
†
ks
e
∗
s ( k) e
−i( k· r−ω k t)
(17.50)
où × désigne un produit vectoriel. Comme dans une onde plane classique, on
vérifie la relation
B =( ˆ
k/c) × E.I le s tf a c i l e ,c o m m ed a n sl ec a sd uc h a m p
bosonique scalaire (§ 14.4.3), de calculer les commutateurs des diverses composantes du champ à t =0. On trouve les relations de commutation suivantes
entre la composante A i du champ et celle −ε 0 E j de son moment conjugué
7
(exercice 17.5.3)
[A i ( r), −ε 0 E j ( r
′ )] = i
d
3 k
(2π) 3 e
i k·( r− r
′ )
δ ij − ˆ
k i ˆ
k j
I
(17.51)
où nous avons utilisé (8.133). On en déduit que E x commute avec B x ,m a i s
non avec B y ou B z : on ne peut pas mesurer simultanément au même point la
composante x du champ électrique et la composante y du champ magnétique.
Il est possible d’écrire un couplage du champ quantifié avec une source
classique j em ( r, t) de la forme
W (t)=−
d
3 rr j em ( r, t) · A( r)
(17.52)
Ce couplage généralise celui de l’oscillateur harmonique forcé de l’exercice 10.4.4 : la force f (t) est remplacée par la source j em et l’opérateur position
Q par le champ quantifié
A. On peut alors montrer que si l’on part d’un état
à zéro photon et si la source agit pendant un temps fini, on obtient un état
cohérent du champ électromagnétique, où le nombre de photons dans un mode
k est donné par une loi de Poisson dont la valeur moyenne est déterminée par
| j em ( k, ω k )|
2 , j em ( k, ω k ) étant la transformée de Fourier quadridimensionnelle
8
de j em ( r, t).
7. L’application des principes de la mécanique analytique au champ électromagnétique
montre que le moment conjugué de A i est −ε 0 E i ; voir par exemple Weinberg [1995].
8. Voir l’exercice 17.5.3. On trouvera un traitement détaillé par exemple dans
Le Bellac [1988], chapitre 9 ou Itzykson et Zuber [1980], chapitre 4.