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Physique quantique : Exercices et applications
ce qui assure la relation de commutation canonique
Q ks ,P k ′ s ′
= iδ k, k ′ δ ss ′ I
(17.44)
Le hamiltonien s’obtient à partir de (17.41) sous la forme
H =
k,s
ω k
a
†
ks
a ks +
1
2
(17.45)
Tout comme (17.41), ce hamiltonien décrit une collection d’oscillateurs harmoniques indépendants.L ’ o p é r a t e u ra ks (a
†
ks
) détruit (crée) un photon de
vecteur d’onde k et de polarisation s, c’est-à-dire un photon dans le mode
( k, s) ; N ks = a
†
ks
a ks est l’opérateur nombre de photons dans ce mode.
On déduit de (17.45) l’énergie (infinie) de point zéro
E 0 =
1
2
k,s
ω k →
V
(2π) 3
d
3 k ck =
cV
2π 2
∞
0
k
3 dk
(17.46)
où nous avons utilisé (8.133). Dans le rayonnement du corps noir, la mécanique
quantique s’était révélée capable de contrôler les fluctuations thermiques,q u i
conduisaient à une énergie infinie en mécanique statistique classique. Mais
nous avons éliminé cet infini pour en introduire un autre, cette fois lié aux
fluctuations quantiques. Ces fluctuations quantiques ont des effets observables,
comme l’effet Casimir (exercice 17.5.6). L’énergie de point zéro est aussi appelée énergie du vide, dont les propriétés restent encore aujourd’hui largement
débattues, et qui pourrait jouer un rôle important en cosmologie.
Pour obtenir l’expression des champs quantifiés, le plus simple est de remarquer que les amplitudes classiques A ks et A
∗
ks
sont remplacées par des
opérateurs ; la comparaison avec (17.39) et (17.43) montre que
6
A ks →
2ε 0 Vω k
a ks
A
∗
ks
→
2ε 0 Vω k
a
†
ks
(17.47)
Ceci donne l’expression du potentiel vecteur dans le point de vue de
Heisenberg
A H ( r, t)=
2ε 0 V
k
2
s=1
1
√ ω k
a ks e s ( k)e
i( k· r−ω k t) + a
†
ks
e
∗
s ( k)e
−i( k· r−ω k t)
(17.48)
6. Ce remplacement est ambigu dans l’expression (17.38) du hamiltonien, car classiquement AA ∗ = A ∗ A, et on doit passer par (17.41) pour procéder correctement. En revanche,
il n’y a pas de problème pour les champs qui sont linéaires en A et A ∗ .
Physique quantique : Exercices et applications
ce qui assure la relation de commutation canonique
Q ks ,P k ′ s ′
= iδ k, k ′ δ ss ′ I
(17.44)
Le hamiltonien s’obtient à partir de (17.41) sous la forme
H =
k,s
ω k
a
†
ks
a ks +
1
2
(17.45)
Tout comme (17.41), ce hamiltonien décrit une collection d’oscillateurs harmoniques indépendants.L ’ o p é r a t e u ra ks (a
†
ks
) détruit (crée) un photon de
vecteur d’onde k et de polarisation s, c’est-à-dire un photon dans le mode
( k, s) ; N ks = a
†
ks
a ks est l’opérateur nombre de photons dans ce mode.
On déduit de (17.45) l’énergie (infinie) de point zéro
E 0 =
1
2
k,s
ω k →
V
(2π) 3
d
3 k ck =
cV
2π 2
∞
0
k
3 dk
(17.46)
où nous avons utilisé (8.133). Dans le rayonnement du corps noir, la mécanique
quantique s’était révélée capable de contrôler les fluctuations thermiques,q u i
conduisaient à une énergie infinie en mécanique statistique classique. Mais
nous avons éliminé cet infini pour en introduire un autre, cette fois lié aux
fluctuations quantiques. Ces fluctuations quantiques ont des effets observables,
comme l’effet Casimir (exercice 17.5.6). L’énergie de point zéro est aussi appelée énergie du vide, dont les propriétés restent encore aujourd’hui largement
débattues, et qui pourrait jouer un rôle important en cosmologie.
Pour obtenir l’expression des champs quantifiés, le plus simple est de remarquer que les amplitudes classiques A ks et A
∗
ks
sont remplacées par des
opérateurs ; la comparaison avec (17.39) et (17.43) montre que
6
A ks →
2ε 0 Vω k
a ks
A
∗
ks
→
2ε 0 Vω k
a
†
ks
(17.47)
Ceci donne l’expression du potentiel vecteur dans le point de vue de
Heisenberg
A H ( r, t)=
2ε 0 V
k
2
s=1
1
√ ω k
a ks e s ( k)e
i( k· r−ω k t) + a
†
ks
e
∗
s ( k)e
−i( k· r−ω k t)
(17.48)
6. Ce remplacement est ambigu dans l’expression (17.38) du hamiltonien, car classiquement AA ∗ = A ∗ A, et on doit passer par (17.41) pour procéder correctement. En revanche,
il n’y a pas de problème pour les champs qui sont linéaires en A et A ∗ .