17. Champ électromagnétique quantifié
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appliquée à
ˆ
k × e s ( k)
·
ˆ
k × e
∗
s ′ ( k)
= e
∗
s ′ ( k) · e s ( k)=δ ss ′
ˆ
k × e s ( k)
·
ˆ
k × e s ′ (− k)
= e s ( k) · e s ′ (− k)
On en déduit la contribution du champ magnétique
1
2
ε 0 c
2
d
3 r
B cl ( r, t =0)=ε 0 V
k,s
ω
2
k A
∗
ks
A ks + R
(17.37)
Combinant (17.36) et (17.37), on obtient la forme finale de H cl
H cl =2ε 0 V
k,s
ω
2
k A
∗
ks
A ks
(17.38)
Il reste à trouver les variables conjuguées q ks et p ks afin de procéder à la
quantification comme dans la sous-section précédente. Ces variables sont
q ks =(ε 0 V)
1/2
A ks + A
∗
ks
p ks =
ω k
i
(ε 0 V)
1/2
A ks − A
∗
ks
(17.39)
Compte tenu de
˙
A ks (t)=−iω k A ks (t)
˙
A
∗
ks
(t)=iω k A
∗
ks
(t)
on vérifie immédiatement l’analogue de (17.12)
˙
q ks = p ks
˙
p ks = −ω
2
k q ks
(17.40)
tandis que le facteur commun de normalisation dans (17.30) permet de trouver
l’expression de H cl qui généralise (17.4) et montre que H cl (17.25) est une
somme de hamiltoniens d’oscillateurs harmoniques indépendants
H cl =
1
2
k,s
p
2
ks
+ ω
2
k q ks
(17.41)
Pour quantifier la théorie, on s’inspire à nouveau de (17.13) en définissant des
opérateurs a ks et a
†
ks
qui vérifient les relations de commutation
a ks ,a
†
k ′ s ′
= δ k, k ′ δ ss ′ I
(17.42)
Les opérateurs Q ks et P ks sont alors
Q ks =
2ω k
a ks + a
†
k,s
P ks =
1
i
ω k
2
a ks − a
†
ks
(17.43)