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Physique quantique : Exercices et applications
De l’équation d’onde (17.24), on déduit l’équation d’évolution des modes A ks
∂
2 A ks
∂t 2 + c
2 k
2 A ks =
∂
2 A ks
∂t 2 + ω
2
k A ks =0
(17.31)
en définissant la fréquence ω k par ω k = c| k|. On peut choisir comme solution
de (17.31) (exercice 17.5.2)
A ks (t)=A ks e
−iω k t
A
∗
ks
(t)=A
∗
ks
e
iω k t
(17.32)
où A ks = A ks (t =0). Ceci donne la dépendance en t de
A cl ( r, t)
A cl ( r, t)=
k,s
A ks e s ( k)e
i( k· r−ω k t) + A
∗
ks
e
∗
s ( k)e
−i( k· r−ω k t)
(17.33)
On en déduit les champs
E cl et
B cl que nous nous contentons d’écrire au
temps t =0
E cl ( r, t =0)=i
k,s
ω k
A ks e s ( k) − A
∗
− ks
e
∗
s (− k)
e
i k· r =
k,s
E ks e
i k· r
B cl ( r, t =0)=
i
c
k,s
ω k ˆ
k ×
A ks e s ( k) − A
∗
− ks
e
∗
s (− k)
e
i k· r =
k,s
B ks e
i k· r
(17.34)
Ces expressions permettent de calculer aisément le hamiltonien du champ
électromagnétique si l’on utilise la relation de Parseval
5 (exercice 19.6.12)
s
d
3 r
E
2
s ( r)=V
k,s,s ′
E ks ·
E − ks ′
(17.35)
On en déduit
ε 0
2
s
d
3 r
E
2
s ( r)=ε 0 V
k,s
ω
2
k A
∗
ks
A ks − R
R =
ε 0 V
2
k,s,s ′
ω
2
k
A ks A − ks ′ e s ( k) · e s ′ (− k)
+ A − ks A ks ′ e
∗
s (− k) · e
∗
s ′ ( k)
(17.36)
où V = L x L y L z e s tl ev o l u m ed eq u a n t i fi c a t i o n .L ec a l c u ld el ac o n t r i b u t i o n
du champ magnétique au hamiltonien s’effectue suivant le même principe, en
utilisant l’identité vectorielle
(
A ×
B) · (
C ×
D)=(
A ·
C)(
B ·
D) − (
A ·
D)(
B ·
C)
5. Étant donné que ce hamiltonien est indépendant du temps, on peut le calculer à t =0.