17. Champ électromagnétique quantifié
713
Revenons maintenant à la quantification, en partant de de la décomposition de Fourier du potentiel vecteur classique
A cl ( r, t)=
ks
A ks (t) e s ( k) e
i k· r + A
∗
ks
(t) e
∗
s ( k) e
−i k· r
(17.26)
Nous choisirons dans cette sous-section des conditions aux limites périodiques
dans une boîte parallépipédique de côtés L x ,L y ,L z , ou quantification dans
une boîte de volume V = L x L y L z
k =
k x =
2πn x
L x
,k y =
2πn y
L y
,k z =
2πn z
L z
n x ,n y ,n z =0, ±1, ±2, ······
Un des entiers n x ,n y ,n z doit être non nul. Nous avons introduit des vecteurs
e s ( k) dans la décomposition (17.26) car le champ
A est un champ de vecteurs ;
les vecteurs e s ( k) sont choisis unitaires, e
∗
s ( k) · e s ( k)=1et ils représentent
physiquement la polarisation du champ. Ils sont contraints par la condition de
jauge (17.22). En effet, le gradient et le rotationnel sont donnés dans l’espace
de Fourier par
∇·
e s ( k) e
i k· r
= i[ k · e s ( k)] e
i k· r
(17.27)
∇×
e s ( k) e
i k· r
= i[ k × e s ( k)] e
i k· r
(17.28)
et on déduit de (17.27) la condition d’orthogonalité k · e s ( k)=0: le vecteur
e s ( k) est un vecteur transverse (par rapport à k). Le vecteur e s étant situé
dans un plan, l’indice s prend seulement deux valeurs. Un choix possible est
{ e x ( k), e y ( k)},o ù e x ( k), e y ( k) et ˆ
k forment un trièdre direct : s = x, y. Ceci
correspond à la décomposition de
A sur des états de polarisation linéaire. Un
autre choix possible est celui des états de polarisation circulaire
e D = −
1
√
2
( e x + i e y )
e G =
1
√
2
( e x − i e y )
(17.29)
avec s = D, G. On note l’identité importante, avec i, j = x, y, z
2
s=1
e si ( k)e
∗
sj ( k)=P ij = δ ij − ˆ
k i ˆ
k j
(17.30)
En effet, P ij n’est autre que le projecteur sur le plan perpendiculaire à k,e t
on vérifie bien que
j
P ij ˆ
k j =0
j
P ij e sj ( k)=e si ( k)
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Revenons maintenant à la quantification, en partant de de la décomposition de Fourier du potentiel vecteur classique
A cl ( r, t)=
ks
A ks (t) e s ( k) e
i k· r + A
∗
ks
(t) e
∗
s ( k) e
−i k· r
(17.26)
Nous choisirons dans cette sous-section des conditions aux limites périodiques
dans une boîte parallépipédique de côtés L x ,L y ,L z , ou quantification dans
une boîte de volume V = L x L y L z
k =
k x =
2πn x
L x
,k y =
2πn y
L y
,k z =
2πn z
L z
n x ,n y ,n z =0, ±1, ±2, ······
Un des entiers n x ,n y ,n z doit être non nul. Nous avons introduit des vecteurs
e s ( k) dans la décomposition (17.26) car le champ
A est un champ de vecteurs ;
les vecteurs e s ( k) sont choisis unitaires, e
∗
s ( k) · e s ( k)=1et ils représentent
physiquement la polarisation du champ. Ils sont contraints par la condition de
jauge (17.22). En effet, le gradient et le rotationnel sont donnés dans l’espace
de Fourier par
∇·
e s ( k) e
i k· r
= i[ k · e s ( k)] e
i k· r
(17.27)
∇×
e s ( k) e
i k· r
= i[ k × e s ( k)] e
i k· r
(17.28)
et on déduit de (17.27) la condition d’orthogonalité k · e s ( k)=0: le vecteur
e s ( k) est un vecteur transverse (par rapport à k). Le vecteur e s étant situé
dans un plan, l’indice s prend seulement deux valeurs. Un choix possible est
{ e x ( k), e y ( k)},o ù e x ( k), e y ( k) et ˆ
k forment un trièdre direct : s = x, y. Ceci
correspond à la décomposition de
A sur des états de polarisation linéaire. Un
autre choix possible est celui des états de polarisation circulaire
e D = −
1
√
2
( e x + i e y )
e G =
1
√
2
( e x − i e y )
(17.29)
avec s = D, G. On note l’identité importante, avec i, j = x, y, z
2
s=1
e si ( k)e
∗
sj ( k)=P ij = δ ij − ˆ
k i ˆ
k j
(17.30)
En effet, P ij n’est autre que le projecteur sur le plan perpendiculaire à k,e t
on vérifie bien que
j
P ij ˆ
k j =0
j
P ij e sj ( k)=e si ( k)