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Physique quantique : Exercices et applications
où Λ( r, t) est une fonction scalaire de l’espace et du temps, les champs
E et
B ne sont pas modifiés. Afin de lever l’arbitraire sur les potentiels (
A, V ), on
fait souvent un choix de jauge en imposant une condition sur (
A, V ).Unchoix
fréquent que nous adopterons (mais ce n’est pas le seul possible !) est celui de
la jauge de Coulomb,o ujauge de rayonnement
∇·
A =0
(17.22)
Avec ce choix, le potentiel vecteur est transverse : en effet, si l’on passe dans
l’espace de Fourier, la condition (17.22) se traduit par k ·
A( k)=0 .D ’ a p r è s
la première des équations (17.2) et (17.22)
∇·
∇V +
∂
A
∂t
= ∇
2 V +
∂
∂t
(
∇·
A)=∇
2 V = −
ρ em
ε 0
(17.23)
d’où l’on déduit le potentiel scalaire V
V ( r, t)=
1
4πε 0
ρ em ( r
′ ,t)
| r − r ′ |
d
3 r
′
Cette expression du potentiel scalaire est appelée potentiel de Coulomb instantané, car les effets de retard ne sont pas apparents : le temps t dans V
est le même que celui de la source ρ em . Cette caractéristique pourrait sembler incompatible avec la relativité, mais on doit se souvenir qu’un potentiel
n’est pas directement observable, et la contradiction est seulement apparente
4 .
La déduction de l’équation donnant
A en fonction de j em est proposée dans
l’exercice 17.5.1.
En l’absence de sources : ρ em = j em =0 , la seconde des équations (17.2)
s’écrit
c
2
∇×(
∇×
A)=c
2
∇·(
∇·
A) − c
2 ∇
2
A = −
∂(
∇V )
∂t
−
∂
2
A
∂t 2
et tenant compte de (17.22) et de V =0 , nous obtenons l’équation d’ondes
pour
A
∂
2
A
∂t 2 − c
2 ∇
2
A =0
(17.24)
Enfin, compte tenu de l’expression classique de la densité d’énergie du champ
électromagnétique, l’expression du hamiltonien classique est
H cl =
1
2
ε 0
d
3 r
E cl
2 + c
2
B cl
2
(17.25)
4. cf. Weinberg [1995], chapitre 8.
Physique quantique : Exercices et applications
où Λ( r, t) est une fonction scalaire de l’espace et du temps, les champs
E et
B ne sont pas modifiés. Afin de lever l’arbitraire sur les potentiels (
A, V ), on
fait souvent un choix de jauge en imposant une condition sur (
A, V ).Unchoix
fréquent que nous adopterons (mais ce n’est pas le seul possible !) est celui de
la jauge de Coulomb,o ujauge de rayonnement
∇·
A =0
(17.22)
Avec ce choix, le potentiel vecteur est transverse : en effet, si l’on passe dans
l’espace de Fourier, la condition (17.22) se traduit par k ·
A( k)=0 .D ’ a p r è s
la première des équations (17.2) et (17.22)
∇·
∇V +
∂
A
∂t
= ∇
2 V +
∂
∂t
(
∇·
A)=∇
2 V = −
ρ em
ε 0
(17.23)
d’où l’on déduit le potentiel scalaire V
V ( r, t)=
1
4πε 0
ρ em ( r
′ ,t)
| r − r ′ |
d
3 r
′
Cette expression du potentiel scalaire est appelée potentiel de Coulomb instantané, car les effets de retard ne sont pas apparents : le temps t dans V
est le même que celui de la source ρ em . Cette caractéristique pourrait sembler incompatible avec la relativité, mais on doit se souvenir qu’un potentiel
n’est pas directement observable, et la contradiction est seulement apparente
4 .
La déduction de l’équation donnant
A en fonction de j em est proposée dans
l’exercice 17.5.1.
En l’absence de sources : ρ em = j em =0 , la seconde des équations (17.2)
s’écrit
c
2
∇×(
∇×
A)=c
2
∇·(
∇·
A) − c
2 ∇
2
A = −
∂(
∇V )
∂t
−
∂
2
A
∂t 2
et tenant compte de (17.22) et de V =0 , nous obtenons l’équation d’ondes
pour
A
∂
2
A
∂t 2 − c
2 ∇
2
A =0
(17.24)
Enfin, compte tenu de l’expression classique de la densité d’énergie du champ
électromagnétique, l’expression du hamiltonien classique est
H cl =
1
2
ε 0
d
3 r
E cl
2 + c
2
B cl
2
(17.25)
4. cf. Weinberg [1995], chapitre 8.