17. Champ électromagnétique quantifié
711
Le point crucial est l’interprétation physique des opérateurs a et a
† .L e sn i -
veaux d’énergie de (17.15) sont donnés par (10.14), et on peut les interpréter
de la façon suivante : l’état |n (10.18) d’énergie (n +1/2)ω e s tu né t a tàn
photons dans le mode de la cavité défini par (17.6), chaque photon ayant une
énergie ω. L’état à zéro photon |0,ouétat du vide, correspond à une énergie
non nulle ω/2 : la cavité, même vide, possède une énergie, appelée énergie de
point zéro. Par une redéfinition du zéro d’énergie, on peut décider d’annuler
cette énergie de point zéro. Cependant, on ne peut pas se débarrasser des
fluctuations autour de cette énergie de point zéro, et ces fluctuations donnent
lieu à des effets observables, ainsi que nous le verrons ultérieurement.
17.1.2 Cas général
Ainsi que nous l’avons déjà mentionné, les résultats de la sous-section précédente sont suffisants pour aborder l’essentiel des développements ultérieurs,
et cette sous-section peut être omise en première lecture, à partir de (17.24).
Avant de procéder à la quantification, revenons un instant sur le cas classique. Les champs
2
E et
B sont liés par des contraintes, ce qui fait que les
six composantes ne sont pas indépendantes. De plus, comme le montre l’effet
Aharonov-Bohm (§ 12.3.3), l’interaction du champ électromagnétique avec les
charges n’est pas locale. Il est souvent préférable de passer par l’intermédiaire
des potentiels
3 scalaire V et vecteur
A dont on déduit les champs
E = −
∇V −
∂
A
∂t
B =
∇×
A
(17.20)
Cette utilisation des potentiels au lieu des champs ne devrait pas surprendre :
en effet, en mécanique quantique, nous n’avons jamais utilisé les forces, reliées
directement aux champs
E et
B par la loi de Lorentz (1.11), mais toujours
l’énergie potentielle. En mécanique quantique, ce sont l’énergie et l’impulsion
qui jouent le rôle fondamental, car ce sont elles qui influencent directement
la phase de la fonction d’onde. En présence d’un champ électrique
E,c ’ e s t
le potentiel V qui intervient directement dans l’équation de Schrödinger via
l’énergie potentielle V = qV . En présence d’un champ magnétique
B, c’est le
potentiel vecteur
A qui intervient directement dans l’équation de Schrödinger,
et non le champ
B : voir la section 10.3.
Les potentiels ne sont pas uniques. En effet, dans une transformation de
jauge, déjà introduite pour
A au § 10.3.1
A →
A
′ =
A −
∇Λ
V → V
′ = V +
∂Λ
∂t
(17.21)
2. Afin d’alléger les notations, nous abandonnons l’indice cl jusqu’à (17.25), aucune
confusion n’étant possible.
3. Nous utilisons la notation V pour le potentiel électrique (ou potentiel scalaire), afin
de ne pas créer de confusion avec l’énergie potentielle V : une particule de charge q dans le
potentiel V a une énergie potentielle V = qV .
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Le point crucial est l’interprétation physique des opérateurs a et a
† .L e sn i -
veaux d’énergie de (17.15) sont donnés par (10.14), et on peut les interpréter
de la façon suivante : l’état |n (10.18) d’énergie (n +1/2)ω e s tu né t a tàn
photons dans le mode de la cavité défini par (17.6), chaque photon ayant une
énergie ω. L’état à zéro photon |0,ouétat du vide, correspond à une énergie
non nulle ω/2 : la cavité, même vide, possède une énergie, appelée énergie de
point zéro. Par une redéfinition du zéro d’énergie, on peut décider d’annuler
cette énergie de point zéro. Cependant, on ne peut pas se débarrasser des
fluctuations autour de cette énergie de point zéro, et ces fluctuations donnent
lieu à des effets observables, ainsi que nous le verrons ultérieurement.
17.1.2 Cas général
Ainsi que nous l’avons déjà mentionné, les résultats de la sous-section précédente sont suffisants pour aborder l’essentiel des développements ultérieurs,
et cette sous-section peut être omise en première lecture, à partir de (17.24).
Avant de procéder à la quantification, revenons un instant sur le cas classique. Les champs
2
E et
B sont liés par des contraintes, ce qui fait que les
six composantes ne sont pas indépendantes. De plus, comme le montre l’effet
Aharonov-Bohm (§ 12.3.3), l’interaction du champ électromagnétique avec les
charges n’est pas locale. Il est souvent préférable de passer par l’intermédiaire
des potentiels
3 scalaire V et vecteur
A dont on déduit les champs
E = −
∇V −
∂
A
∂t
B =
∇×
A
(17.20)
Cette utilisation des potentiels au lieu des champs ne devrait pas surprendre :
en effet, en mécanique quantique, nous n’avons jamais utilisé les forces, reliées
directement aux champs
E et
B par la loi de Lorentz (1.11), mais toujours
l’énergie potentielle. En mécanique quantique, ce sont l’énergie et l’impulsion
qui jouent le rôle fondamental, car ce sont elles qui influencent directement
la phase de la fonction d’onde. En présence d’un champ électrique
E,c ’ e s t
le potentiel V qui intervient directement dans l’équation de Schrödinger via
l’énergie potentielle V = qV . En présence d’un champ magnétique
B, c’est le
potentiel vecteur
A qui intervient directement dans l’équation de Schrödinger,
et non le champ
B : voir la section 10.3.
Les potentiels ne sont pas uniques. En effet, dans une transformation de
jauge, déjà introduite pour
A au § 10.3.1
A →
A
′ =
A −
∇Λ
V → V
′ = V +
∂Λ
∂t
(17.21)
2. Afin d’alléger les notations, nous abandonnons l’indice cl jusqu’à (17.25), aucune
confusion n’étant possible.
3. Nous utilisons la notation V pour le potentiel électrique (ou potentiel scalaire), afin
de ne pas créer de confusion avec l’énergie potentielle V : une particule de charge q dans le
potentiel V a une énergie potentielle V = qV .