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Physique quantique : Exercices et applications
Pour quantifier le champ électromagnétique, on utilise le fait que les variables q et p (17.11) sont canoniquement conjuguées, et on leur fait correspondre des opérateurs Q et P obéissant à [Q, P ]=iI. De façon équivalente,
on écrit Q et P en fonction d’opérateurs a et a
† obéissant à [a, a
† ]=I
Q =
2ω
a + a
†
P =
1
i
ω
2
a − a
†
(17.13)
Les équations (17.6) et (17.11) donnent alors l’expression du champ électromagnétique quantifié ( E, B)
E =ˆ z
ω
ε 0 V
a + a
†
sin ky
B =ˆ x
1
ic
ω
ε 0 V
a − a
†
cos ky
(17.14)
Le hamiltonien quantique est évidemment identique à (10.9)
H = ω
a
† a +
1
2
(17.15)
Dans le processus de quantification, les champs
E cl et
B cl sont devenus
des opérateurs hermitiens E et
B, et l’équation (17.14) donne ces opérateurs
dans le point de vue de Schrödinger. Pour obtenir une dépendance temporelle
comme dans (17.6), il faut passer au point de vue de Heisenberg, et nous
avons besoin des opérateurs a et a
† dans ce point de vue. Contentons-nous
d’examiner a,c a ra
† s’en déduit par conjugaison hermitienne. Par définition,
l’opérateur a H (t) du point de vue de Heisenberg est
a H (t)=e
iHt/ a e
−iHt/
(17.16)
où H est donné par (17.15). L’opérateur a H (t) vérifie l’équation différentielle
da H (t)
dt
=
i
e
iHt/ [H, a] e
−iHt/ = −iωa H (t)
(17.17)
où nous avons utilisé le commutateur [a
† a, a]=−a. L’équation différentielle
(17.17) s’intègre immédiatement, et avec la condition aux limites habituelle
a H (t =0)=a
a H (t)=a e
−iωt
a
†
H (t)=a
† e
iωt
(17.18)
Cela donne les champs E et
B dans le point de vue de Heisenberg section 10.3
E H (t)=ˆ z
ω
ε 0 V
a e
−iωt + a
† e
iωt
sin ky
B H (t)=ˆ x
1
ic
ω
ε 0 V
a e
−iωt − a
† e
iωt
cos ky
(17.19)