17. Champ électromagnétique quantifié
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Considérons une cavité métallique parallépipédique de volume V,d el o n -
gueur L suivant la direction Oy et un mode du champ classique dans cette
cavité (figure 17.1)
E cl =ˆ ze(t)sinky
B cl =ˆ xb(t)cosky
(17.6)
La dépendance spatiale est en sin ky ou cos ky parce que la cavité est un
parallélépipède. En général, ce serait celle d’un mode propre de la cavité. La
composante transversale de
E cl doit s’annuler sur les parois de la cavité, ce
qui impose k = nπ/L, n =1, 2, ··· Les fonctions e(t) et b(t) sont liées par les
équations de Maxwell
1
∇×
E cl = −
∂
B cl
∂t
=⇒ ke(t)=−
db
dt
(17.7)
∇×
B cl =
1
c 2
∂
E cl
∂t
=⇒
de
dt
= c
2 kb(t)
(17.8)
L’énergie H cl contenue dans la cavité s’obtient à partir de la densité d’énergie
du champ électromagnétique
ǫ cl =
1
2
ε 0 (
E
2
cl +
B
2
cl )
(17.9)
soit
H cl =
1
2
ε 0
V
d
3 r
e
2 (t)sin
2 ky + c
2 b
2 (t)cos
2 ky
=
1
4
ε 0 V
e
2 (t)+c
2 b
2 (t)
(17.10)
La comparaison entre (17.4) et (17.10) suggère la définition suivante, avec
ω = ck
q =
1
ω
ε 0 V
2
ep = c
ε 0 V
2
b
(17.11)
Les équations de Maxwell (17.7) et (17.8) deviennent alors identiques à (17.5)
dq
dt
= p
dp
dt
= −ω
2 q
(17.12)
tandis que (17.10) prend par construction la forme (17.4).
1. Combinant les équations (17.7) et (17.8), on obtient aussi, avec ω = ck
d
2 e
dt 2 + ω
2 e =0
d
2 b
dt 2 + ω
2 b =0
La dépendance temporelle est donc
e(t)=e 0 exp(±iωt)
b(t)=b 0 exp(±iωt)
.