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Physique quantique : Exercices et applications
∇·
B =0
∇×
E = −
∂
B
∂t
(17.1)
∇·
E =
ρ em
ε 0
c
2
∇×
B =
∂
E
∂t
+
1
ε 0
j em
(17.2)
Les deux équations (17.1) sont des équations de contraintes sur les champs
E
et
B, tandis que les deux équations (17.2) dépendent des sources du champ
électromagnétique, c’est-à-dire de la densité de charge ρ em et de la densité de
courant j em . On déduit des équations de Maxwell l’équation de continuité
∂ρ em
∂t
+
∇· j em =0
(17.3)
17.1.1 Quantification d’un mode
Avant d’examiner le cas général, nous allons d’abord étudier le cas plus
simple de la quantification d’un mode du champ électromagnétique, ce qui
suffira en pratique pour la plupart des problèmes étudiés par la suite. Nous
allons exploiter l’analogie entre ce mode traité classiquement et un oscillateur
harmonique classique écrit pour une particule de masse m =1, le hamiltonien
étant
H cl =
1
2
p
2 (t)+ω
2 q
2 (t)
(17.4)
Les équations de Hamilton sont
∂H cl
∂p
= p =˙ q
∂H cl
∂q
= ω
2 q = − ˙
p
(17.5)
Les variables q et p étant canoniquement conjuguées, la quantification suit les
règles de la section 4.3 : q → Q, p → P avec [Q, P ]=iI.
L
z
y
x
E
B
Fig. 17.1 – Cavité pour le champ électromagnétique.