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Physique quantique : Exercices et applications
d’où l’expression de l’énergie de rotation
E rot =
K(K +1)
2Mr 2 +cste
(16.23)
Dans cette équation, la constante ne dépend que du mouvement électronique,
et ne contient pas K. Dans le cas particulier Λ=0(état Σ), on a
K
2 =
J
2 ;
en première approximation r = r 0 et on trouve alors la forme habituelle de
l’énergie de rotation du rotateur sphérique rigide (§ 9.3.1)
E rot =
J(J +1)
2Mr 2
0
(16.24)
Passons maintenant au mouvement de vibration le long de la droite des
noyaux. L’énergie potentielle U 0 (r) peut être approchée au voisinage de r = r 0
par un potentiel harmonique
U 0 (r) ≃ U 0 (r 0 )+
1
2
U
′′
0 (r 0 )(r − r 0 )
2 = U 0 (r 0 )+
1
2
Mω
2
vib
(16.25)
la fréquence de vibration ω vib étant donnée par
ω vib =
U ′′
0 (r 0 )
M
(16.26)
Les niveaux de vibration sont donnés par (10.14)
E
n
vib = ω vib
n +
1
2
n =0, 1, 2 ···
(16.27)
Les niveaux de rotation-vibration d’une molécule diatomique dans son état
électronique fondamental sont finalement de la forme
E(n, J)=U 0 (r 0 )+ω vib
n +
1
2
+
J(J +1)
2Mr 2
0
(16.28)
Cette formule ne donne qu’une première approximation : lorsque la molécule vibre, la distance entre les noyaux n’est plus r 0 mais r, ce qui entraîne
un couplage entre rotation et vibration (voir par exemple Cohen-Tannoudji
et al. [1973], complément A V ).
16.4 Exercices
16.4.1 États np
3
permis
Trouver les configurations permises pour 3 électrons dans un état np
(l =1 ), ou état np
3 . Suggestions (1) Quelles sont les valeurs possibles de
S, L et J et quelles sont les combinaisons
2S+1
L J autorisées par le principe de
Pauli ? (2) Déterminer le nombre de couples possibles (m L ,m S ) et retrouver
le résultat de cette manière. Utiliser les règles de Hund pour montrer que le
niveau fondamental est
4
S 3/2 .