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Physique quantique : Exercices et applications
La valeur optimale de z se calcule à partir de dE(z)/dz =0, ce qui conduit à
z = Z − 5/16 et
E
var
0
= −2
Z −
5
16
2
R ∞
(16.14)
Dans le cas de l’hélium, nous trouvons E
var
0
≃−77.5 eV, ce qui est plus pro che
du résultat expérimental que l’estimation perturbative. Nous vérifions aussi
que E
var
0
>E
exp
0 , en conformité avec la méthode variationnelle. Pour un même
volume de calculs, nous observons que la méthode variationnelle avec un bon
choix de la fonction d’onde d’essai donne des résultats nettement plus précis
que la théorie des perturbations.
16.1.2 États excités de l’atome d’hélium
Ainsi que nous venons de le voir, l’état fondamental de l’atome d’hélium
possède un moment angulaire orbital nul et un spin total nul. Nous utiliserons
par la suite la notation standard
2S+1 L J ,o ùS est le spin total, L le moment
angulaire orbital total et J le moment angulaire total ; l’état fondamental de
l’atome d’hélium est donc un état
1 S 0 . Les niveaux d’énergie situés immédiatement au-dessus du fondamental sont les niveaux 1s
1 2s
1 : un électron dans
l’état 1s et un autre dans l’état 2s,e t1s
1 2p
1 : un électron dans l’état 1s et
un autre dans l’état 2p. Ces niveaux sont dégénérés si H 0 (16.2) est utilisé
comme hamiltonien. Cependant, une meilleure stratégie consiste à prendre en
compte, au moins de façon approchée, l’effet de la répulsion électrostatique W
(16.3) en utilisant non pas le potentiel de Coulomb −Ze
2 /r, mais un potentiel effectif à un électron V eff (r) qui peut être déterminé à partir d’arguments
de type Hartree-Fock (cf. le § 14.3.4). Par conséquent, au lieu de H 0 ,n o u s
utiliserons un hamiltonien H
′
0 :
H
′
0 = −
2
2m e
∇
2
1 −
2
2m e
∇
2
2 + V eff (r 1 )+V eff (r 2 )
(16.15)
et au lieu de W une perturbation W
′ :
W
′ =
e
2
| r 1 − r 2 |
+
−
Ze
2
r 1
− V eff (r 1 )
+
−
Ze
2
r 2
− V eff (r 2 )
(16.16)
Ave c H
′
0 comme hamiltonien, les niveaux 2s et 2p ne sont plus dégénérés
(voir la figure 10.7 ou la figure 16.2), et le niveau 2p se trouve au-dessus du
niveau 2s. Une remarque importante est que W
′ est invariant par rotation, et
il commute donc avec le moment angulaire orbital total
L : [
L, W
′ ]=0,b i e n
que, par exemple, [
L 1 ,W
′ ] =0 . W
′ n’a pas d’éléments de matrice non nuls
entre les niveaux 1s
1 2s
1 et 1s
1 2p
1 qui ont des moments angulaires orbitaux
différents, L =0et L =1 , respectivement. Ainsi, et bien que ces niveaux ne
soient pas très loin de la dégénérescence, nous pouvons utiliser la théorie des
perturbations non dégénérée.
Physique quantique : Exercices et applications
La valeur optimale de z se calcule à partir de dE(z)/dz =0, ce qui conduit à
z = Z − 5/16 et
E
var
0
= −2
Z −
5
16
2
R ∞
(16.14)
Dans le cas de l’hélium, nous trouvons E
var
0
≃−77.5 eV, ce qui est plus pro che
du résultat expérimental que l’estimation perturbative. Nous vérifions aussi
que E
var
0
>E
exp
0 , en conformité avec la méthode variationnelle. Pour un même
volume de calculs, nous observons que la méthode variationnelle avec un bon
choix de la fonction d’onde d’essai donne des résultats nettement plus précis
que la théorie des perturbations.
16.1.2 États excités de l’atome d’hélium
Ainsi que nous venons de le voir, l’état fondamental de l’atome d’hélium
possède un moment angulaire orbital nul et un spin total nul. Nous utiliserons
par la suite la notation standard
2S+1 L J ,o ùS est le spin total, L le moment
angulaire orbital total et J le moment angulaire total ; l’état fondamental de
l’atome d’hélium est donc un état
1 S 0 . Les niveaux d’énergie situés immédiatement au-dessus du fondamental sont les niveaux 1s
1 2s
1 : un électron dans
l’état 1s et un autre dans l’état 2s,e t1s
1 2p
1 : un électron dans l’état 1s et
un autre dans l’état 2p. Ces niveaux sont dégénérés si H 0 (16.2) est utilisé
comme hamiltonien. Cependant, une meilleure stratégie consiste à prendre en
compte, au moins de façon approchée, l’effet de la répulsion électrostatique W
(16.3) en utilisant non pas le potentiel de Coulomb −Ze
2 /r, mais un potentiel effectif à un électron V eff (r) qui peut être déterminé à partir d’arguments
de type Hartree-Fock (cf. le § 14.3.4). Par conséquent, au lieu de H 0 ,n o u s
utiliserons un hamiltonien H
′
0 :
H
′
0 = −
2
2m e
∇
2
1 −
2
2m e
∇
2
2 + V eff (r 1 )+V eff (r 2 )
(16.15)
et au lieu de W une perturbation W
′ :
W
′ =
e
2
| r 1 − r 2 |
+
−
Ze
2
r 1
− V eff (r 1 )
+
−
Ze
2
r 2
− V eff (r 2 )
(16.16)
Ave c H
′
0 comme hamiltonien, les niveaux 2s et 2p ne sont plus dégénérés
(voir la figure 10.7 ou la figure 16.2), et le niveau 2p se trouve au-dessus du
niveau 2s. Une remarque importante est que W
′ est invariant par rotation, et
il commute donc avec le moment angulaire orbital total
L : [
L, W
′ ]=0,b i e n
que, par exemple, [
L 1 ,W
′ ] =0 . W
′ n’a pas d’éléments de matrice non nuls
entre les niveaux 1s
1 2s
1 et 1s
1 2p
1 qui ont des moments angulaires orbitaux
différents, L =0et L =1 , respectivement. Ainsi, et bien que ces niveaux ne
soient pas très loin de la dégénérescence, nous pouvons utiliser la théorie des
perturbations non dégénérée.