16. Atomes complexes et et molécules
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ce qui donne
e
−2Zr/a0 e
i k· r d
3 r =
16πZ/a 0
[k 2 +(2Z/a 0 ) 2 ] 2
(16.7)
On reporte ce résultat dans l’expression de ∆E
∆E =
4Ze
2
πa 0
∞
0
dx
(1 + x 2 ) 4 =
4Ze
2
πa 0
×
5π
32
=
5
4
ZR ∞
(16.8)
où la dernière expression est spécifique à l’atome d’hélium. Comme on s’y
attendait, ∆E est positif et
E
(0)
0 +∆E ≃−74.8eV
(16.9)
ce qui est beaucoup plus proche du résultat expérimental que ce que nous
pouvions raisonnablement espérer.
La méthode variationnelle va nous donner un résultat encore plus précis.
Comme fonction d’onde d’essai à un électron, nous prenons
ϕ( r)=
z
3
πa 3
0
1/2
e
−zr/a0
(16.10)
où z est notre paramètre variationnel. Afin de calculer la valeur moyenne,
nous partons de
d
3 rϕ
∗ ( r)
−
1
2m e
∇
2 −
ze
2
r
ϕ( r)=−z
2 R ∞
(16.11)
parce que (16.10) donne l’état fondamental solution de l’équation de Schrödinger pour un atome à un électron dans un potentiel de Coulomb −ze
2 /r.
Comme l’énergie potentielle est le double de l’énergie totale, nous avons aussi
d
3 r
−
ze
2
r
|ϕ( r)|
2 = −2ze
2 R ∞
(16.12)
Les équations (16.11) et (16.12) nous permettent de calculer la valeur moyenne
de H 0 :
H 0 = −2(2zZ − z
2 )R ∞
La valeur moyenne de W vient juste d’être déterminée dans l’approche
perturbative
W =
5
4
zR ∞ .
Rassemblant toutes les contributions, nous obtenons
E 0 (z)=2
z
2 − 2Zz +
5
8
z
R ∞
(16.13)