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Physique quantique : Exercices et applications
Cherchons le niveau de plus basse énergie en négligeant W .C en i v e a ue s t
manifestement un niveau 1s
2 , où les deux électrons sont dans un état 1s ;
l’exposant compte le nombre d’électrons dans un état donné. Cependant, les
électrons sont des fermions, et ces deux électrons ne peuvent pas être dans un
même état. Heureusement, le spin sauve la mise, car les deux électrons peuvent
ê t rem i sd an su né t ats i n gu l e td es p i nχ s (9.126), qui est antisymétrique dans
l’échange des deux électrons. Notre fonction d’onde espace+spin correctement
antisymétrisée devient alors
Ψ( r 1 ,, r 2 )χ = ϕ 1s ( r 1 )ϕ 1s ( r 2 )χ s =
Z
3
πa 3
0
e
−Zr1/a0 e
−Zr2/a0 χ s
(16.4)
L’énergie de l’état fondamental de l’hélium correspondant à cette fonction
d’onde est E
(0)
0
= −8R ∞ ≃− 108.8 eV, à comparer avec le résultat expérimental E
exp = −79.0 eV. On observe que E
(0)
0 est inférieur à la valeur expérimentale d’environ 30 %. Cependant, nous avons négligé l’interaction répulsive
W>0 de H, et nous nous attendons à ce que ce terme fasse remonter notre
résultat théorique. Faisant preuve d’optimisme, nous appliquons aveuglément
la théorie des perturbations, bien qu’il n’y ait aucune bonne raison pour que
W puisse être considéré comme “petit” comparativement aux autres termes
d’énergie potentielle dans H 0 . Utilisant (15.6), nous calculons la correction du
premier ordre à E 0 :
∆E = Ψ|W |Ψ =
Z
6 e
2
π 2 a 6
0
e
−2Zr1/a0 e
−2Zr2/a0
| r 1 − r 2 |
d
3 r 1 d
3 r 2
(16.5)
Pour calculer cette intégrale à six dimensions, nous nous servons de la représentation suivante
1 de 1/r :
1
r
=
4π
(2π) 3
d
3 k
k 2 e
i k· r
et nous trouvons
∆E =
Z
6 e
2
2π 4 a 6
0
dk
k 2
e
−2Zr/a0 e
i k· r d
3 r
2
Le calcul de la transformée de Fourier dans l’expression de ∆E se fait en
utilisant
d
3 r e
i q· r e
−λr =2 π
∞
0
r
2 dr e
−λr
+1
−1
e
iqr cos θ d cos θ
=
2π
q
∞
0
r dr sin qr e
−λr =
2π
q
Im
∞
0
r dr e
iqr e
−λr
=
4π
q
Im
1
(λ − iq) 2 =
8πλ
(λ 2 + q 2 ) 2
(16.6)
1. En effet, l’équation de Poisson ∇ 2 (1/r)=−4πδ( r ) montre que 1/r a pour transformée
de Fourier 4π/k 2 . On peut aussi calculer la transformée de Fourier de (k 2 +α 2 ) −1 et prendre
la limite α → 0.
Physique quantique : Exercices et applications
Cherchons le niveau de plus basse énergie en négligeant W .C en i v e a ue s t
manifestement un niveau 1s
2 , où les deux électrons sont dans un état 1s ;
l’exposant compte le nombre d’électrons dans un état donné. Cependant, les
électrons sont des fermions, et ces deux électrons ne peuvent pas être dans un
même état. Heureusement, le spin sauve la mise, car les deux électrons peuvent
ê t rem i sd an su né t ats i n gu l e td es p i nχ s (9.126), qui est antisymétrique dans
l’échange des deux électrons. Notre fonction d’onde espace+spin correctement
antisymétrisée devient alors
Ψ( r 1 ,, r 2 )χ = ϕ 1s ( r 1 )ϕ 1s ( r 2 )χ s =
Z
3
πa 3
0
e
−Zr1/a0 e
−Zr2/a0 χ s
(16.4)
L’énergie de l’état fondamental de l’hélium correspondant à cette fonction
d’onde est E
(0)
0
= −8R ∞ ≃− 108.8 eV, à comparer avec le résultat expérimental E
exp = −79.0 eV. On observe que E
(0)
0 est inférieur à la valeur expérimentale d’environ 30 %. Cependant, nous avons négligé l’interaction répulsive
W>0 de H, et nous nous attendons à ce que ce terme fasse remonter notre
résultat théorique. Faisant preuve d’optimisme, nous appliquons aveuglément
la théorie des perturbations, bien qu’il n’y ait aucune bonne raison pour que
W puisse être considéré comme “petit” comparativement aux autres termes
d’énergie potentielle dans H 0 . Utilisant (15.6), nous calculons la correction du
premier ordre à E 0 :
∆E = Ψ|W |Ψ =
Z
6 e
2
π 2 a 6
0
e
−2Zr1/a0 e
−2Zr2/a0
| r 1 − r 2 |
d
3 r 1 d
3 r 2
(16.5)
Pour calculer cette intégrale à six dimensions, nous nous servons de la représentation suivante
1 de 1/r :
1
r
=
4π
(2π) 3
d
3 k
k 2 e
i k· r
et nous trouvons
∆E =
Z
6 e
2
2π 4 a 6
0
dk
k 2
e
−2Zr/a0 e
i k· r d
3 r
2
Le calcul de la transformée de Fourier dans l’expression de ∆E se fait en
utilisant
d
3 r e
i q· r e
−λr =2 π
∞
0
r
2 dr e
−λr
+1
−1
e
iqr cos θ d cos θ
=
2π
q
∞
0
r dr sin qr e
−λr =
2π
q
Im
∞
0
r dr e
iqr e
−λr
=
4π
q
Im
1
(λ − iq) 2 =
8πλ
(λ 2 + q 2 ) 2
(16.6)
1. En effet, l’équation de Poisson ∇ 2 (1/r)=−4πδ( r ) montre que 1/r a pour transformée
de Fourier 4π/k 2 . On peut aussi calculer la transformée de Fourier de (k 2 +α 2 ) −1 et prendre
la limite α → 0.