15. Atomes à un électron
683
états s, et que dans ce cas le déplacement vaut pour Z petit et une orbite de
nombre quantique principal n, de rayon grand par rapport à R
∆E n =
2πZe
2
5
R
2 |ϕ n ( r =0)|
2
où ϕ n ( r) est la fonction d’onde non perturbée. Montrer que pour l’état 1s
∆E =
4
5
R ∞
Z
2 m
′
µ
m e
R
a Z
µ
2
où m
′
µ est la masse réduite. Évaluer numériquement ce déplacement pour
l’aluminium
19 . La correction va-t-elle dans le bons sens ? Est-il raisonnable
d’appliquer la méthode dans le cas du plomb ?
4. Montrer que le rapport des énergies caractéristiques de la structure
fine aux énergies caractéristiques des niveaux est le même pour l’électron et
le muon. Montrer, en revanche, que ce rapport est plus grand d’un facteur
m µ /m e pour la structure hyperfine.
15.4.4 Atomes de Rydberg
Les résultats de l’exercice 9.7.9 permettent d’écrire les fonctions d’onde
radiales u nl (r) de l’atome d’hydrogène sous la forme
u nl (r)=
n−l−1
q=0
c q
r
a 0
q+l+1
exp
−
r
na 0
Pour écrire l’expression du coefficient c q , il est commode de définir k = n − l
c q =
−
2
n
q
(k − 1)!(2l +1)!
q!(q +2l +1)!(k − q − 1)!
où c 0 est fixé par la condition de normalisation de la fonction d’onde. On
s’intéressera à des valeurs de n ≫ 1,t y p i q u e m e n tn ∼ 50.
1. Montrer que si l prend sa valeur maximale l = l max = n − 1,lafonction
d’onde radiale présente un pic étroit au voisinage du point r = a 0 n
2 . Quelle
est la largeur ∆r de ce pic ? Suggestion : étudier la fonction
f n (x)=x
n e
−x/n
19. En dehors de la correction d’extension finie du noyau, la correction la plus importante
vient de la polarisation du vide due à la création de paires virtuelles électron-positron. La
correction pour l’état 1s de l’aluminium est de −2.25 KeV. Le signe de cette correction
est négatif : en effet, à courte distance, α est plus grand que 1/137 et le muon qui voit
une charge plus grande est plus lié que si α était constant. Ce comportement de α aé t é
mentionné dans la note 37 du chapitre 1 : α croît avec l’énergie, et d’après l’inégalité de
Heisenberg, courte distance implique grande impulsion, et donc grande énergie.
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états s, et que dans ce cas le déplacement vaut pour Z petit et une orbite de
nombre quantique principal n, de rayon grand par rapport à R
∆E n =
2πZe
2
5
R
2 |ϕ n ( r =0)|
2
où ϕ n ( r) est la fonction d’onde non perturbée. Montrer que pour l’état 1s
∆E =
4
5
R ∞
Z
2 m
′
µ
m e
R
a Z
µ
2
où m
′
µ est la masse réduite. Évaluer numériquement ce déplacement pour
l’aluminium
19 . La correction va-t-elle dans le bons sens ? Est-il raisonnable
d’appliquer la méthode dans le cas du plomb ?
4. Montrer que le rapport des énergies caractéristiques de la structure
fine aux énergies caractéristiques des niveaux est le même pour l’électron et
le muon. Montrer, en revanche, que ce rapport est plus grand d’un facteur
m µ /m e pour la structure hyperfine.
15.4.4 Atomes de Rydberg
Les résultats de l’exercice 9.7.9 permettent d’écrire les fonctions d’onde
radiales u nl (r) de l’atome d’hydrogène sous la forme
u nl (r)=
n−l−1
q=0
c q
r
a 0
q+l+1
exp
−
r
na 0
Pour écrire l’expression du coefficient c q , il est commode de définir k = n − l
c q =
−
2
n
q
(k − 1)!(2l +1)!
q!(q +2l +1)!(k − q − 1)!
où c 0 est fixé par la condition de normalisation de la fonction d’onde. On
s’intéressera à des valeurs de n ≫ 1,t y p i q u e m e n tn ∼ 50.
1. Montrer que si l prend sa valeur maximale l = l max = n − 1,lafonction
d’onde radiale présente un pic étroit au voisinage du point r = a 0 n
2 . Quelle
est la largeur ∆r de ce pic ? Suggestion : étudier la fonction
f n (x)=x
n e
−x/n
19. En dehors de la correction d’extension finie du noyau, la correction la plus importante
vient de la polarisation du vide due à la création de paires virtuelles électron-positron. La
correction pour l’état 1s de l’aluminium est de −2.25 KeV. Le signe de cette correction
est négatif : en effet, à courte distance, α est plus grand que 1/137 et le muon qui voit
une charge plus grande est plus lié que si α était constant. Ce comportement de α aé t é
mentionné dans la note 37 du chapitre 1 : α croît avec l’énergie, et d’après l’inégalité de
Heisenberg, courte distance implique grande impulsion, et donc grande énergie.