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Physique quantique : Exercices et applications
Le deuxième terme de E pot est appelé terme de Darwin. Montrer que ce terme
n’affecte que les ondes s et vaut
∆E D =
πe
2
2
2m 2
e c 2 |ϕ( r =0)|
2
Évaluer numériquement ∆E D pour le niveau 1s de l’hydrogène.
15.4.3 Atomes muoniques
Le muon (µ) est un lepton en tout point identique à l’électron, à l’exception
de sa masse m µ ≃ 105.7MeV/c
2 ≃ 206.8 m e (cf. le § 1.1.3). Un atome peut
capturer un muon négatif µ
− qui se met sur orbite autour du noyau atomique,
exactement comme un électron, et forme un “atome muonique”.
1. Calculer, en fonctiond un u m é r oa t o m i q u eZ de l’atome, du rapport
m µ /m e et de a 0 =
2 /(m e e
2 ), le rayon de Bohr a
Z
µ du muon pour un atome
de numéro atomique Z en écrivant
a
Z
µ =
1
Zα(A)
a 0
On tiendra compte de la masse réduite dans le calcul de α(A).C o m p a r e r
a
Z
µ au rayon R du noyau pour l’aluminium (Z =1 3 ,A= 27) et le plomb
(Z =8 2A = 208). On rappelle que R est donné par R ≃ 1.2 × A
1/3 fm,
A étant le nombre de nucléons.
2. Soit ∆E
Z=1
e
=∆E e = E 2p −E 1s la différence d’énergie entre les niveaux
2p et 1s de l’atome d’hydrogène. Calculer la quantité correspondante ∆E
Z
µ
pour un atome de numéro atomique Z en fonction de ∆E e et de m µ /m e .
Comparer aux valeurs expérimentales
Aluminium : ∆E
13
µ =0.3443 MeV
Plomb : ∆E
82
µ =5.96 MeV
Quel est le type de photon émis dans ces transitions ?
3. Montrer que l’effet d’écran des électrons des couches internes est négligeable. Au contraire, une correction importante vient de l’extension finie du
noyau atomique. En supposant une distribution de charge uniforme dans le
noyau, montrer que le potentiel vu par le muon n’est pas −Ze
2 /r mais
V (r)=
Ze
2
2R
r
R
2
− 3
r
Ze
2
r
r>R
On se propose de calculer le déplacement des niveaux par la méthode des
perturbations au premier ordre, en partant de la solution pour le potentiel
coulombien exact. Quelle perturbation W (r) doit-on utiliser ? Montrer qualitativement que l’effet d’extension finie du noyau est négligeable sauf pour les
Physique quantique : Exercices et applications
Le deuxième terme de E pot est appelé terme de Darwin. Montrer que ce terme
n’affecte que les ondes s et vaut
∆E D =
πe
2
2
2m 2
e c 2 |ϕ( r =0)|
2
Évaluer numériquement ∆E D pour le niveau 1s de l’hydrogène.
15.4.3 Atomes muoniques
Le muon (µ) est un lepton en tout point identique à l’électron, à l’exception
de sa masse m µ ≃ 105.7MeV/c
2 ≃ 206.8 m e (cf. le § 1.1.3). Un atome peut
capturer un muon négatif µ
− qui se met sur orbite autour du noyau atomique,
exactement comme un électron, et forme un “atome muonique”.
1. Calculer, en fonctiond un u m é r oa t o m i q u eZ de l’atome, du rapport
m µ /m e et de a 0 =
2 /(m e e
2 ), le rayon de Bohr a
Z
µ du muon pour un atome
de numéro atomique Z en écrivant
a
Z
µ =
1
Zα(A)
a 0
On tiendra compte de la masse réduite dans le calcul de α(A).C o m p a r e r
a
Z
µ au rayon R du noyau pour l’aluminium (Z =1 3 ,A= 27) et le plomb
(Z =8 2A = 208). On rappelle que R est donné par R ≃ 1.2 × A
1/3 fm,
A étant le nombre de nucléons.
2. Soit ∆E
Z=1
e
=∆E e = E 2p −E 1s la différence d’énergie entre les niveaux
2p et 1s de l’atome d’hydrogène. Calculer la quantité correspondante ∆E
Z
µ
pour un atome de numéro atomique Z en fonction de ∆E e et de m µ /m e .
Comparer aux valeurs expérimentales
Aluminium : ∆E
13
µ =0.3443 MeV
Plomb : ∆E
82
µ =5.96 MeV
Quel est le type de photon émis dans ces transitions ?
3. Montrer que l’effet d’écran des électrons des couches internes est négligeable. Au contraire, une correction importante vient de l’extension finie du
noyau atomique. En supposant une distribution de charge uniforme dans le
noyau, montrer que le potentiel vu par le muon n’est pas −Ze
2 /r mais
V (r)=
Ze
2
2R
r
R
2
− 3
r
Ze
2
r
r>R
On se propose de calculer le déplacement des niveaux par la méthode des
perturbations au premier ordre, en partant de la solution pour le potentiel
coulombien exact. Quelle perturbation W (r) doit-on utiliser ? Montrer qualitativement que l’effet d’extension finie du noyau est négligeable sauf pour les