15. Atomes à un électron
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Vérifier que ce développement en puissances de p/mc est valable si
p/(mc) ≪ 1. Le premier terme est l’énergie de masse, une simple constante
additive, le second est la forme non relativiste de l’énergie cinétique prise en
compte dans la résolution de l’équation de Schrödinger ; l’objectif est d’évaluer
les corrections dues au troisième terme O(p
4 ). Montrer que ce terme donne
une correction ∆E K ∝ α
2 (v/c)
2 = O(α
4 ) aux niveaux d’énergie. Afin d’évaluer cette correction de façon précise, on utilise la théorie des perturbations.
Montrer qu’au premier ordre de cette théorie
∆E K = −
1
8m 3
e c 2
d
3 pp
4 | ˜
ϕ( p)|
2
où ˜
ϕ( p) est la transformé de Fourier de la fonction d’onde ϕ( r)
˜
ϕ( p)=
1
(2π) 3/2
d
3 r e
i p· r/ ϕ( r)
Calculer ∆E K pour le niveau 1s de l’atome d’hydrogène. Les intégrales
nécessaires se déduisent de
I(x)=
∞
0
dq
q 2 + x
=
π
2
x
−1/2
par dérivation par rapport à x (x>0).
2. Terme de Darwin. La seconde correction vient de ce qu’à l’approximation non relativiste de l’équation de Dirac (chapitre 19), la localisation de
l’électron ne peut se faire au mieux qu’à /(m e c) près, où /(m e c) est la
longueur d’onde Compton de l’électron. Pour tenir compte de cette extension
spatiale, on écrit l’énergie potentielle
E pot =
d
3 uf(| u|)V ( r + u)
où V est l’énergie potentielle habituelle et f (u), à symétrie sphérique, possède
une extension ∼ /(m e c) et est normalisée par
d
3 uf(u)=1
En développant V ( r + u) au voisinage de u =0,m o n t r e rq u e
E pot = V ( r)+O
m e c
2
∇
2 V + O
m e c
4
L’équation de Dirac donne le coefficient exact
E pot = V ( r)+
2
8m 2
e c 2 ∇
2 V + O
m e c
4