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Physique quantique : Exercices et applications
2. Les protons des deux atomes d’hydrogène se trouvent à une distance
R ≫ a 0 , a 0 étant le rayon de Bohr (1.41) ;
R est le vecteur joignant le proton 1
au proton 2 et l’axe Oz est orienté suivant
R.O nn o t e r 1 le vecteur joignant
l’électron 1 au proton 1, r 2 le vecteur joignant l’électron 2 au proton 2 et
d i = q e r i le moment dipolaire électrique de l’atome i. Montrer qu’en physique
classique l’énergie d’interaction des deux dipôles est
W =
e
2
R 3
r 1 · r 2 − 3( r 1 · ˆ
R)( r 2 · ˆ
R)
=
e
2
R 3 [x 1 x 2 + y 1 y 2 − 2z 1 z 2 ]
3. Pour obtenir l’expression quantique de W , on utilise le principe de
correspondance en remplaçant les nombres x 1 , ··· ,z 2 par des opérateurs
X 1 , ··· ,Z 2
W =
e
2
R 3 [X 1 X 2 + Y 1 Y 2 − 2Z 1 Z 2 ]
Montrer que la valeur moyenne de W est nulle au premier ordre de la théorie
des perturbations
E 1 = ϕ 01 ϕ 02 |W |ϕ 01 ϕ 02 =0
4. Au second ordre, si |ϕ α d é s i g n eu né t a te x c i t éo uu né t a td uc o n t i n u
d’énergie E α
E 2 =
α1,α2
|ϕ α1 ϕ α2 |W |ϕ 01 ϕ 02 |
2
−2R ∞ − E α1 − E α2
où R ∞ est la constante de Rydberg (1.42). Pour obtenir un ordre de grandeur
de E 2 , on néglige E α1 et E α2 au dénominateur. En déduire
E 2 ∼−6
e
2
R
a 0
R
5
L’énergie d’interaction varie comme R
−5 et la force comme R
−6 .Mon trerque
l’estimation précédente n’est plus valable si R > ∼ c/R ∞ . Pour des distances
R ≫ c/R ∞ , on montre que la loi de forces est en R
−7 .
15.4.2 Corrections d’ordre α
2
aux niveaux d’énergie
Suggestion. Dans ce problème comme dans le suivant, il est recommandé
pour les application numériques d’écrire les énergies sous la forme d’un facteur
sans dimensions multipliant R ∞ =13.61 eV.
En plus de la structure fine, il existe deux autres corrections O(v/c)
2 aux
niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène (ou plus généralement des atomes
à un seul électron).
1. Correction cinématique. La forme relativiste de l’énergie cinétique de
l’électron est
K =
p 2 c 2 + m 2 c 4 = mc
2 +
p
2
2m e
−
1
8
p
4
m 3
e c 2 + O
p
6
m 5
e c 4
Physique quantique : Exercices et applications
2. Les protons des deux atomes d’hydrogène se trouvent à une distance
R ≫ a 0 , a 0 étant le rayon de Bohr (1.41) ;
R est le vecteur joignant le proton 1
au proton 2 et l’axe Oz est orienté suivant
R.O nn o t e r 1 le vecteur joignant
l’électron 1 au proton 1, r 2 le vecteur joignant l’électron 2 au proton 2 et
d i = q e r i le moment dipolaire électrique de l’atome i. Montrer qu’en physique
classique l’énergie d’interaction des deux dipôles est
W =
e
2
R 3
r 1 · r 2 − 3( r 1 · ˆ
R)( r 2 · ˆ
R)
=
e
2
R 3 [x 1 x 2 + y 1 y 2 − 2z 1 z 2 ]
3. Pour obtenir l’expression quantique de W , on utilise le principe de
correspondance en remplaçant les nombres x 1 , ··· ,z 2 par des opérateurs
X 1 , ··· ,Z 2
W =
e
2
R 3 [X 1 X 2 + Y 1 Y 2 − 2Z 1 Z 2 ]
Montrer que la valeur moyenne de W est nulle au premier ordre de la théorie
des perturbations
E 1 = ϕ 01 ϕ 02 |W |ϕ 01 ϕ 02 =0
4. Au second ordre, si |ϕ α d é s i g n eu né t a te x c i t éo uu né t a td uc o n t i n u
d’énergie E α
E 2 =
α1,α2
|ϕ α1 ϕ α2 |W |ϕ 01 ϕ 02 |
2
−2R ∞ − E α1 − E α2
où R ∞ est la constante de Rydberg (1.42). Pour obtenir un ordre de grandeur
de E 2 , on néglige E α1 et E α2 au dénominateur. En déduire
E 2 ∼−6
e
2
R
a 0
R
5
L’énergie d’interaction varie comme R
−5 et la force comme R
−6 .Mon trerque
l’estimation précédente n’est plus valable si R > ∼ c/R ∞ . Pour des distances
R ≫ c/R ∞ , on montre que la loi de forces est en R
−7 .
15.4.2 Corrections d’ordre α
2
aux niveaux d’énergie
Suggestion. Dans ce problème comme dans le suivant, il est recommandé
pour les application numériques d’écrire les énergies sous la forme d’un facteur
sans dimensions multipliant R ∞ =13.61 eV.
En plus de la structure fine, il existe deux autres corrections O(v/c)
2 aux
niveaux d’énergie de l’atome d’hydrogène (ou plus généralement des atomes
à un seul électron).
1. Correction cinématique. La forme relativiste de l’énergie cinétique de
l’électron est
K =
p 2 c 2 + m 2 c 4 = mc
2 +
p
2
2m e
−
1
8
p
4
m 3
e c 2 + O
p
6
m 5
e c 4