684
Physique quantique : Exercices et applications
et montrer que pour x ≃ x 0 = n
2
f n (x) ≃ f n (x 0 )e x p
−
1
2n 3 (x − x 0 )
2
Montrer qualitativement que si l
2. On s’intéresse maintenant à la partie angulaire. D’après (9.53),
Y
m
l (θ, φ)=e
imφ f
m
l (θ)
En utilisant L + Y
l
l =0et l’expression (9.48) de L + ,m o n t r e rq u e
Y
l
l (θ, φ) ∝ e
ilφ sin
l θ
En déduire que si l ≫ 1, |Y
l
l (θ, φ)|
2 est non nul uniquement au voisinage du
plan xOy (c’est-à-dire pour θ = π/2), et calculer la dispersion ∆θ.Q u es e
passe-t-il si |m| | = l ?
3. Déduire des deux premières questions que pour n ≫ 1, les états l = n−1
et |m| = l sont localisés dans un tore horizontal de rayon n
2 a 0 dont la section
est un cercle de rayon a 0 n
3/2 . Comparer avec les orbites (1.40) obtenues à
partir des prescriptions de Bohr.
15.4.5 Terme diamagnétique
Lorsque nous avons établi la forme du hamiltonien (15.23) de l’effet Zeeman, nous avons négligé un terme ∝
A
2 ,ditterme diamagnétique.P ourjustifier cette approximation, examinons le cas d’un champ magnétique uniforme
et constant
B, une expression possible pour
A étant (cf. (10.64))
A =
1
2
B × r
1. Montrer que l’on peut écrire le hamiltonien quantique d’un électron de
charge q dans ce champ magnétique sous la forme
H =
1
2m e
(
P − q
A)
2
=
P
2
2m e
−
q
2m e
B ·
L +
q
2
8m e
R
2
B
2 − (
R ·
B)
2
= H 0 + H Z + H D
où
L =
R ×
P est le moment angulaire orbital. On justifiera soigneusement
les commutations d’opérateurs.
2. Identifier H Z à la partie du hamiltonien Zeeman (15.23) d’origine orbitale, et donner l’ordre de grandeur de ce terme pour un champ magnétique
Physique quantique : Exercices et applications
et montrer que pour x ≃ x 0 = n
2
f n (x) ≃ f n (x 0 )e x p
−
1
2n 3 (x − x 0 )
2
Montrer qualitativement que si l
2. On s’intéresse maintenant à la partie angulaire. D’après (9.53),
Y
m
l (θ, φ)=e
imφ f
m
l (θ)
En utilisant L + Y
l
l =0et l’expression (9.48) de L + ,m o n t r e rq u e
Y
l
l (θ, φ) ∝ e
ilφ sin
l θ
En déduire que si l ≫ 1, |Y
l
l (θ, φ)|
2 est non nul uniquement au voisinage du
plan xOy (c’est-à-dire pour θ = π/2), et calculer la dispersion ∆θ.Q u es e
passe-t-il si |m| | = l ?
3. Déduire des deux premières questions que pour n ≫ 1, les états l = n−1
et |m| = l sont localisés dans un tore horizontal de rayon n
2 a 0 dont la section
est un cercle de rayon a 0 n
3/2 . Comparer avec les orbites (1.40) obtenues à
partir des prescriptions de Bohr.
15.4.5 Terme diamagnétique
Lorsque nous avons établi la forme du hamiltonien (15.23) de l’effet Zeeman, nous avons négligé un terme ∝
A
2 ,ditterme diamagnétique.P ourjustifier cette approximation, examinons le cas d’un champ magnétique uniforme
et constant
B, une expression possible pour
A étant (cf. (10.64))
A =
1
2
B × r
1. Montrer que l’on peut écrire le hamiltonien quantique d’un électron de
charge q dans ce champ magnétique sous la forme
H =
1
2m e
(
P − q
A)
2
=
P
2
2m e
−
q
2m e
B ·
L +
q
2
8m e
R
2
B
2 − (
R ·
B)
2
= H 0 + H Z + H D
où
L =
R ×
P est le moment angulaire orbital. On justifiera soigneusement
les commutations d’opérateurs.
2. Identifier H Z à la partie du hamiltonien Zeeman (15.23) d’origine orbitale, et donner l’ordre de grandeur de ce terme pour un champ magnétique