15. Atomes à un électron
669
émis spontanément, et l’atome est soumis à une force dissipative due à l’absorption de photons égale à la variation d’impulsion par unité de temps
F diss = k
dN
dt
= k
Γ
2
s
1+s
= k
Γ
2
ω
2
1 /2
δ 2 +Γ 2 /4+ω 2
1 /2
(15.55)
Lorsque le paramètre de saturation s ≫ 1, l’accélération a approche sa valeur
maximale
a max =
k
M
Γ
2
(15.56)
où M est la masse de l’atome. Pour la raie D 2 du sodium, Γ
−1 =1.6 × 10
−8 s
et a max ∼ 10
6 ms
−2 ,e n v i r o n10
5 fois l’accélération de la pesanteur.
Nous allons retrouver le résultat (15.55) pour la force dissipative en examinant la force exercée par le champ électromagnétique (15.34) sur le dipôle
atomique. La forme de l’opérateur dipôle dans l’espace à deux dimensions de
l’atome à deux niveaux est D = dσ 1 , et, d’après (11.3), sa valeur moyenne est
D = d Tr (ρσ 1 )=d(ρ ab + ρ
∗
ab )
= d(r + r
∗ )=d
r
′ e
iωt + r
′ ∗ e
−iωt
=
2ds
ω 1 (1 + s
−
Γ
2
sin ωt + δ cos ωt
(15.57)
où nous avons utilisé l’expression (15.53) de r
′ en régime permanent. Cette
valeur moyenne du dipôle exhibe un terme ∝ cos ωt en phase avec le champ
(15.34) et un terme en quadrature de phase ∝ sin ωt.L et ra v ai ldW/dt fourni
par unité de temps par le champ (15.34) sur le dipôle, c’est-à-dire la puissance
fournie à l’atome
13 ,e s t
dW
dt
= E 0 cos ωt
dD
dt
Compte tenu de (15.57) qui donne immédiatement dD/dt
dW
dt
= −
2dsωE 0
ω 1 (1 + s)
Γ
2
cos
2 ωt + δ sin ωt cos ωt
(15.58)
et en prenant la moyenne temporelle
dW
dt
= −
2dsωE 0
ω 1 (1 + s)
Γ
4
=
ωs
1+s
Γ
2
(15.59)
13. Il est utile de se souvenir de l’oscillateur harmonique forcé élémentaire à une
dimension
¨
x + γ ˙
x + ω
2
0 x = f cos ωt
La puissance fournie à l’oscillateur est f (cos ωt)dx/dt. La correspondance avec le présent
problème est donnée par f → E 0 et x →D.
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émis spontanément, et l’atome est soumis à une force dissipative due à l’absorption de photons égale à la variation d’impulsion par unité de temps
F diss = k
dN
dt
= k
Γ
2
s
1+s
= k
Γ
2
ω
2
1 /2
δ 2 +Γ 2 /4+ω 2
1 /2
(15.55)
Lorsque le paramètre de saturation s ≫ 1, l’accélération a approche sa valeur
maximale
a max =
k
M
Γ
2
(15.56)
où M est la masse de l’atome. Pour la raie D 2 du sodium, Γ
−1 =1.6 × 10
−8 s
et a max ∼ 10
6 ms
−2 ,e n v i r o n10
5 fois l’accélération de la pesanteur.
Nous allons retrouver le résultat (15.55) pour la force dissipative en examinant la force exercée par le champ électromagnétique (15.34) sur le dipôle
atomique. La forme de l’opérateur dipôle dans l’espace à deux dimensions de
l’atome à deux niveaux est D = dσ 1 , et, d’après (11.3), sa valeur moyenne est
D = d Tr (ρσ 1 )=d(ρ ab + ρ
∗
ab )
= d(r + r
∗ )=d
r
′ e
iωt + r
′ ∗ e
−iωt
=
2ds
ω 1 (1 + s
−
Γ
2
sin ωt + δ cos ωt
(15.57)
où nous avons utilisé l’expression (15.53) de r
′ en régime permanent. Cette
valeur moyenne du dipôle exhibe un terme ∝ cos ωt en phase avec le champ
(15.34) et un terme en quadrature de phase ∝ sin ωt.L et ra v ai ldW/dt fourni
par unité de temps par le champ (15.34) sur le dipôle, c’est-à-dire la puissance
fournie à l’atome
13 ,e s t
dW
dt
= E 0 cos ωt
dD
dt
Compte tenu de (15.57) qui donne immédiatement dD/dt
dW
dt
= −
2dsωE 0
ω 1 (1 + s)
Γ
2
cos
2 ωt + δ sin ωt cos ωt
(15.58)
et en prenant la moyenne temporelle
dW
dt
= −
2dsωE 0
ω 1 (1 + s)
Γ
4
=
ωs
1+s
Γ
2
(15.59)
13. Il est utile de se souvenir de l’oscillateur harmonique forcé élémentaire à une
dimension
¨
x + γ ˙
x + ω
2
0 x = f cos ωt
La puissance fournie à l’oscillateur est f (cos ωt)dx/dt. La correspondance avec le présent
problème est donnée par f → E 0 et x →D.