15. Atomes à un électron
667
un milieu dense
12 . Le calcul fondé sur (15.40) tient compte de l’interaction
avec le champ laser, et donc de l’absorption et de l’émission induites, mais
non de l’interaction avec le champ quantifié : il néglige l’émission spontanée.
En raison de l’émission spontanée, l’atome dans le niveau E b tend à revenir
dans le niveau E a en émettant un photon avec une probabilité Γ par unité
de temps (cf. le § 11.4.3). L’équation différentielle donnant ˙
ρ bb doit donc inclure dans son second membre un terme −Γρ bb , qui conduirait, en l’absence
de champ laser, à une décroissance exponentielle de la population du niveau
E b en exp(−Γt). On en déduit que le membre de droite de l’équation différentielle pour w contient un terme en −Γ(w +1). Les cohérences doivent
également décroître car, en l’absence de champ laser, l’atome revient dans son
niveau fondamental E a pour t ≫ τ =1 /Γ, et la matrice statistique a pour
seul élément non nul ρ aa =1 . Nous avons montré au § 11.4.3 que le taux de
décroissance des cohérences est, dans le cadre de nos approximations, égal à
Γ/2. Les équations (15.42) et (15.43) deviennent donc
˙
w = −2iω 1 (r − r
∗ )cosωt − Γ(w +1)
(15.44)
˙
r = iω 0 r − iω 1 w cos ωt −
Γ
2
r
(15.45)
Nous allons transformer ces équations en utilisant comme au § 5.3.2 l’approximation séculaire. On remarque que si ω 1 ≪ ω 0 , l’équation (15.45) implique que
r ∼ exp(iω 0 t) alors que w est lentement variable. Écrivant cos ωt sous forme
d’exponentielles complexes et négligeant les termes rapidement variables en
exp(±i(ω + ω 0 )t), les équations (15.44)–(15.45) deviennent
˙
w = −iω 1 (e
−iωt r − e
iωt r
∗ ) − Γ(w +1)
(15.46)
˙
r = iω 0 r −
i
2
ω 1 w
e
iωt + e
−iωt
−
Γ
2
r
(15.47)
Dans le second membre de (15.46), tous les termes sont lentement variables.
Pour mettre en évidence l’évolution temporelle des termes du second membre
de (15.47), on pose
e
−iωt r = r
′
e
−iωt ˙
r = iωr
′ +˙ r
′
ce qui donne, en multipliant (15.47) par exp(−iωt)
˙
r
′ = i(ω 0 − ω)r
′ −
i
2
ω 1 w
1+e
−2iωt
−
Γ
2
r
′
L’approximation séculaire consiste à négliger dans cette équation le terme
rapidement variable exp(−2iωt). On aboutit donc au système d’équations différentielles, les équations de Bloch optiques
˙
w = −iω 1 (r
′ − r
′ ∗ ) − Γ(w +1)
(15.48)
˙
r
′ = i(ω 0 − ω)r
′ −
i
2
ω 1 w −
Γ
2
r
′
(15.49)
12. Un exemple est le milieu actif pour un laser, qui est décrit par des équations de Bloch
optiques analogues à (15.44)–(15.45) : voir par exemple Mandel et Wolf [1995], chapitre 18.
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un milieu dense
12 . Le calcul fondé sur (15.40) tient compte de l’interaction
avec le champ laser, et donc de l’absorption et de l’émission induites, mais
non de l’interaction avec le champ quantifié : il néglige l’émission spontanée.
En raison de l’émission spontanée, l’atome dans le niveau E b tend à revenir
dans le niveau E a en émettant un photon avec une probabilité Γ par unité
de temps (cf. le § 11.4.3). L’équation différentielle donnant ˙
ρ bb doit donc inclure dans son second membre un terme −Γρ bb , qui conduirait, en l’absence
de champ laser, à une décroissance exponentielle de la population du niveau
E b en exp(−Γt). On en déduit que le membre de droite de l’équation différentielle pour w contient un terme en −Γ(w +1). Les cohérences doivent
également décroître car, en l’absence de champ laser, l’atome revient dans son
niveau fondamental E a pour t ≫ τ =1 /Γ, et la matrice statistique a pour
seul élément non nul ρ aa =1 . Nous avons montré au § 11.4.3 que le taux de
décroissance des cohérences est, dans le cadre de nos approximations, égal à
Γ/2. Les équations (15.42) et (15.43) deviennent donc
˙
w = −2iω 1 (r − r
∗ )cosωt − Γ(w +1)
(15.44)
˙
r = iω 0 r − iω 1 w cos ωt −
Γ
2
r
(15.45)
Nous allons transformer ces équations en utilisant comme au § 5.3.2 l’approximation séculaire. On remarque que si ω 1 ≪ ω 0 , l’équation (15.45) implique que
r ∼ exp(iω 0 t) alors que w est lentement variable. Écrivant cos ωt sous forme
d’exponentielles complexes et négligeant les termes rapidement variables en
exp(±i(ω + ω 0 )t), les équations (15.44)–(15.45) deviennent
˙
w = −iω 1 (e
−iωt r − e
iωt r
∗ ) − Γ(w +1)
(15.46)
˙
r = iω 0 r −
i
2
ω 1 w
e
iωt + e
−iωt
−
Γ
2
r
(15.47)
Dans le second membre de (15.46), tous les termes sont lentement variables.
Pour mettre en évidence l’évolution temporelle des termes du second membre
de (15.47), on pose
e
−iωt r = r
′
e
−iωt ˙
r = iωr
′ +˙ r
′
ce qui donne, en multipliant (15.47) par exp(−iωt)
˙
r
′ = i(ω 0 − ω)r
′ −
i
2
ω 1 w
1+e
−2iωt
−
Γ
2
r
′
L’approximation séculaire consiste à négliger dans cette équation le terme
rapidement variable exp(−2iωt). On aboutit donc au système d’équations différentielles, les équations de Bloch optiques
˙
w = −iω 1 (r
′ − r
′ ∗ ) − Γ(w +1)
(15.48)
˙
r
′ = i(ω 0 − ω)r
′ −
i
2
ω 1 w −
Γ
2
r
′
(15.49)
12. Un exemple est le milieu actif pour un laser, qui est décrit par des équations de Bloch
optiques analogues à (15.44)–(15.45) : voir par exemple Mandel et Wolf [1995], chapitre 18.