666
Physique quantique : Exercices et applications
Dans l’écriture de ρ, nous avons tenu compte de la condition ρ aa + ρ bb =1.La
quantité w = ρ bb − ρ aa mesure la différence de population entre les niveaux E b
et E a : si l’on dispose d’une collection de N atomes, en moyenne N ρ aa seront
dans l’état E a et N ρ bb dans l’état E b . Les éléments de matrice non diagonaux
ρ ab = ρ
∗
ba sont les cohérences. La présence de cohérences non nulles, c’est-àdire de phases, est bien sûr le signal d’effets quantiques.
L’équation d’évolution de ρ est donnée par (11.33)
˙
ρ =
1
i
[ H, ρ]
(15.40)
Le commutateur dans (15.40) se calcule aisément en utilisant (3.52)
[ σ · a, , σ · b]=2i σ · ( a × b)
On obtient
˙
u = ω 0 v
˙
v = −ω 0 u +2ω 1 w cos ωt
(15.41)
˙
w = −2ω 1 v cos ωt
Il sera commode, afin de compléter ces équations et de justifier une approximation ultérieure, de les récrire en fonction de la cohérence r = ρ ab =(u − iv)/2
˙
w = −2iω 1 (r − r
∗ )cosωt
(15.42)
˙
r = iω 0 r − iω 1 w cos ωt
(15.43)
Ces équations d’évolution de la matrice statistique sont hamiltoniennes,
c’est-à-dire régies par une loi du type (15.40) dépendant d’un hamiltonien ;
on dit aussi que évolution est unitaire (ou hamiltonienne), car (15.40) est
équivalent à
ρ(t)=U (t, 0)ρ(t =0)U
† (t, 0)
où U (t) est l’opérateur unitaire d’évolution (4.14). Cependant, ces équations
sont en fait incomplètes : l’interaction de l’atome avec son environnement
conduit à des équations qui ne sont pas de la forme (15.40), et donc à une évolution non hamiltonienne. C’est l’ensemble atome+environnement qui obéit à
une évolution unitaire, et si l’on s’intéresse seulement aux degrés de liberté de
l’atome, l’évolution n’est plus hamiltonienne : l’atome est un système quantique ouvert. Ce type d’évolution a déjà été rencontré dans la section 11.4, et
il sera traité en toute généralité au chapitre 18. Nous allons nous limiter au cas
où l’environnement de l’atome est uniquement le champ électromagnétique,
ce qui est une excellente approximation pour des atomes piégés par des lasers
qui forment un milieu dilué, mais il pourrait y avoir d’autres sources d’évolutions non hamiltoniennes, comme des collisions avec d’autres atomes dans
Physique quantique : Exercices et applications
Dans l’écriture de ρ, nous avons tenu compte de la condition ρ aa + ρ bb =1.La
quantité w = ρ bb − ρ aa mesure la différence de population entre les niveaux E b
et E a : si l’on dispose d’une collection de N atomes, en moyenne N ρ aa seront
dans l’état E a et N ρ bb dans l’état E b . Les éléments de matrice non diagonaux
ρ ab = ρ
∗
ba sont les cohérences. La présence de cohérences non nulles, c’est-àdire de phases, est bien sûr le signal d’effets quantiques.
L’équation d’évolution de ρ est donnée par (11.33)
˙
ρ =
1
i
[ H, ρ]
(15.40)
Le commutateur dans (15.40) se calcule aisément en utilisant (3.52)
[ σ · a, , σ · b]=2i σ · ( a × b)
On obtient
˙
u = ω 0 v
˙
v = −ω 0 u +2ω 1 w cos ωt
(15.41)
˙
w = −2ω 1 v cos ωt
Il sera commode, afin de compléter ces équations et de justifier une approximation ultérieure, de les récrire en fonction de la cohérence r = ρ ab =(u − iv)/2
˙
w = −2iω 1 (r − r
∗ )cosωt
(15.42)
˙
r = iω 0 r − iω 1 w cos ωt
(15.43)
Ces équations d’évolution de la matrice statistique sont hamiltoniennes,
c’est-à-dire régies par une loi du type (15.40) dépendant d’un hamiltonien ;
on dit aussi que évolution est unitaire (ou hamiltonienne), car (15.40) est
équivalent à
ρ(t)=U (t, 0)ρ(t =0)U
† (t, 0)
où U (t) est l’opérateur unitaire d’évolution (4.14). Cependant, ces équations
sont en fait incomplètes : l’interaction de l’atome avec son environnement
conduit à des équations qui ne sont pas de la forme (15.40), et donc à une évolution non hamiltonienne. C’est l’ensemble atome+environnement qui obéit à
une évolution unitaire, et si l’on s’intéresse seulement aux degrés de liberté de
l’atome, l’évolution n’est plus hamiltonienne : l’atome est un système quantique ouvert. Ce type d’évolution a déjà été rencontré dans la section 11.4, et
il sera traité en toute généralité au chapitre 18. Nous allons nous limiter au cas
où l’environnement de l’atome est uniquement le champ électromagnétique,
ce qui est une excellente approximation pour des atomes piégés par des lasers
qui forment un milieu dilué, mais il pourrait y avoir d’autres sources d’évolutions non hamiltoniennes, comme des collisions avec d’autres atomes dans