15. Atomes à un électron
665
On ignore, pour le moment, les degrés de liberté de translation de l’atome,
en le supposant infiniment lourd
11 . Dans ces conditions, le hamiltonien H est
donné par (5.54)
H =
⎛
⎜
⎝
−
2
ω 0
−dE 0 cos ωt
−dE 0 cos ωt
2
ω 0
⎞
⎟
⎠
(15.35)
Les lignes et les colonnes sont dans l’ordre (a, b), le zéro d’énergie en l’absence
de champ a été choisi à mi-chemin entre E a et E b et d est l’élément de matrice
(
D · e s ) ab de la composante suivant e s de l’opérateur moment dipolaire électrique entre les deux niveaux. On introduit, comme au § 5.3.2, la fréquence
de Rabi ω 1
ω 1 = −
dE 0
(15.36)
Le signe moins tient compte de la charge négative de l’électron, de sorte que
ω 1 > 0. Avec cette définition, on peut récrire H en fonction des matrices de
Pauli σ 1 et σ 3
1
H =
⎛
⎜
⎝
−
1
2
ω 0 ω 1 cos ωt
ω 1 cos ωt
1
2
ω 0
⎞
⎟
⎠ = −
1
2
ω 0 σ 3 +(ω 1 cos ωt)σ 1 = σ · a (15.37)
En général, l’état quantique de l’atome sera décrit par un opérateur statistique
ρ. En effet, l’atome est en interaction permanente avec le champ électromagnétique quantifié, et même si l’ensemble champ+atome était dans un état
pur, l’état de l’atome ne serait pas un état pur : comme nous l’avons vu
au § 11.1.2, l’état de l’atome est décrit en prenant la trace partielle sur les
variables du champ, et le résultat est un opérateur statistique, l’opérateur
statistique réduit de l’atome, représenté par une matrice 2 × 2 agissant dans
l’espace à deux dimensions de l’atome à deux niveaux, et non un vecteur de
cet espace. Suivant le § 11.1.3, nous écrivons la matrice statistique en fonction
d’un vecteur réel b, le vecteur de Bloch, tel que b
2 ≤ 1
ρ =
1
2
I +
3
i=1
σ i b i
=
1
2
I + σ · b
(15.38)
Suivant les notations usuelles, on appelle (u, v, −w) les composantes du vecteur de Bloch : u = b 1 , v = b 2 et w = −b 3 . On peut aussi écrire ρ sous forme
matricielle explicite
ρ =
1
2 −
1
2 (ρ bb − ρ aa )
ρ ab
ρ ba
1
2 +
1
2 (ρ bb − ρ aa )
=
1
2
1 − wu− iv
u + iv 1+w
(15.39)
11. Plus précisément, on traite classiquement les degrés de liberté de translation, ce qui
suppose que l’on doit avoir Γ ≫ E R ,o ùΓ est la largeur de raie et E R l’énergie de recul
définie en (15.68). On suppose aussi le milieu suffisamment dilué, afin de pouvoir négliger
les collisions entre atomes.
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On ignore, pour le moment, les degrés de liberté de translation de l’atome,
en le supposant infiniment lourd
11 . Dans ces conditions, le hamiltonien H est
donné par (5.54)
H =
⎛
⎜
⎝
−
2
ω 0
−dE 0 cos ωt
−dE 0 cos ωt
2
ω 0
⎞
⎟
⎠
(15.35)
Les lignes et les colonnes sont dans l’ordre (a, b), le zéro d’énergie en l’absence
de champ a été choisi à mi-chemin entre E a et E b et d est l’élément de matrice
(
D · e s ) ab de la composante suivant e s de l’opérateur moment dipolaire électrique entre les deux niveaux. On introduit, comme au § 5.3.2, la fréquence
de Rabi ω 1
ω 1 = −
dE 0
(15.36)
Le signe moins tient compte de la charge négative de l’électron, de sorte que
ω 1 > 0. Avec cette définition, on peut récrire H en fonction des matrices de
Pauli σ 1 et σ 3
1
H =
⎛
⎜
⎝
−
1
2
ω 0 ω 1 cos ωt
ω 1 cos ωt
1
2
ω 0
⎞
⎟
⎠ = −
1
2
ω 0 σ 3 +(ω 1 cos ωt)σ 1 = σ · a (15.37)
En général, l’état quantique de l’atome sera décrit par un opérateur statistique
ρ. En effet, l’atome est en interaction permanente avec le champ électromagnétique quantifié, et même si l’ensemble champ+atome était dans un état
pur, l’état de l’atome ne serait pas un état pur : comme nous l’avons vu
au § 11.1.2, l’état de l’atome est décrit en prenant la trace partielle sur les
variables du champ, et le résultat est un opérateur statistique, l’opérateur
statistique réduit de l’atome, représenté par une matrice 2 × 2 agissant dans
l’espace à deux dimensions de l’atome à deux niveaux, et non un vecteur de
cet espace. Suivant le § 11.1.3, nous écrivons la matrice statistique en fonction
d’un vecteur réel b, le vecteur de Bloch, tel que b
2 ≤ 1
ρ =
1
2
I +
3
i=1
σ i b i
=
1
2
I + σ · b
(15.38)
Suivant les notations usuelles, on appelle (u, v, −w) les composantes du vecteur de Bloch : u = b 1 , v = b 2 et w = −b 3 . On peut aussi écrire ρ sous forme
matricielle explicite
ρ =
1
2 −
1
2 (ρ bb − ρ aa )
ρ ab
ρ ba
1
2 +
1
2 (ρ bb − ρ aa )
=
1
2
1 − wu− iv
u + iv 1+w
(15.39)
11. Plus précisément, on traite classiquement les degrés de liberté de translation, ce qui
suppose que l’on doit avoir Γ ≫ E R ,o ùΓ est la largeur de raie et E R l’énergie de recul
définie en (15.68). On suppose aussi le milieu suffisamment dilué, afin de pouvoir négliger
les collisions entre atomes.