15. Atomes à un électron
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fine et celui de l’effet Zeeman : exercice 11.6.2. Nous nous plaçons dans le cas
où l’effet Zeeman est petit. Les éléments de matrice de la perturbation dans
le niveau (nl) j de (15.24) sont
W
nlj
mm ′ = −
q e B
2m e
nljm|L z +2S z |nljm
′
(15.25)
Les opérateurs
L et
S sont des opérateurs vectoriels, et d’après le théorème
de Wigner-Eckart (9.150) pour ces opérateurs, les éléments de matrice sont
donnés, par exemple pour L z ,p a r
nljm|L z |nljm
′ =
1
2 j(j +1)
j||(
J ·
L)||jnljm|J z |nljm
′
=
m
j(j +1)
(
J ·
L) δ mm ′
Utilisant
S
2 =(
J −
L)
2 et
L
2 =(
J −
S)
2
pour exprimer
J ·
S et
J ·
L,o no b t i e n t
J · (
L +2
S) =
3
2
J
2 +
1
2
S
2 −
1
2
L
2
et on en déduit
nljm|L z +2S z |nljm
′ =
m
2j(j +1)
3j(j +1)+
3
4
− l(l +1)
δ mm ′
= m
1+
1
2j(j +1)
j(j +1)+
3
4
− l(l +1)
δ mm ′
Le résultat final s’écrit sous la forme
W
nlj
mm ′ = −g
q e B
2m e
mδ mm ′
(15.26)
Dans le cadre de notre approximation, les déplacements des sous-niveaux
Zeeman sont linéaires en B. Ils sont contrôlés par le facteur de Landé g
g =1+
1
2j(j +1)
j(j +1)+
3
4
− l(l +1)
(15.27)
On interprète physiquement gq e /(2m e ) comme un facteur gyromagnétique
effectif. Pour un électron libre dans un champ magnétique, nous avons vu que
le facteur de Landé était égal à 2 ; c’est aussi le cas pour une onde s,a i n s i
qu’on peut le vérifier en posant l =0dans (15.27).