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Physique quantique : Exercices et applications
15.2.4 Structure hyperfine
Un effet encore plus fin, de l’ordre de 10
−6 en valeur relative, est dû à
l’interaction du moment magnétique du noyau atomique avec le moment magnétique orbital et le moment magnétique associé au spin de l’électron externe.
L’interaction entre un dipôle magnétique nucléaire et un dipôle magnétique
électronique est a priori plus faible que l’interaction entre deux dipôles électroniques par un facteur ∼ 10
−3 : en effet, le magnéton de Bohr nucléaire
µ N = q p /(2m p ) est plus petit que le magnéton de Bohr µ B = |q e |/(2m e )
par un facteur m p /m e ∼ 2000. Rappelons les expressions des opérateurs moments magnétiques de l’électron et du proton
µ e = γ e
S e ≃−2µ B
S e
µ p = γ p
S p ≃ 5.59µ N
S p
(15.28)
On montre en électrodynamique classique
9 que le champ magnétique
B( r)
d’un dipôle ponctuel
µ n à l’origine des coordonnées vaut
B( r)=−
µ 0
4πr 3
µ n − 3( µ n · ˆ
r)ˆ r
+
2µ 0
3
µ n δ( r)
(15.29)
On peut écrire comme dans (15.23) l’énergie du moment magnétique orbital
et du spin de l’électron externe dans ce champ magnétique. Nous allons nous
limiter au cas où l’électron est dans une onde s, cas où seul est à prendre
en compte le moment magnétique de spin : dans une onde s,i ln ’ yap a sd e
contribution du moment angulaire orbital au moment magnétique de l’atome.
De plus, le terme entre crochets dans (15.29) donne une contribution nulle. En
effet, si l’on calcule en théorie des perturbations l’énergie magnétique W
′ =
− µ e ·
B correspondant à l’interaction du moment magnétique électronique
dû au spin en prenant en compte le terme entre crochets de (15.29), on trouve
pour une onde s, dont la fonction d’onde ϕ(r) dépend seulement de r
W
′ =
µ 0
4π
d
3 r |ϕ(r)|
2 1
r 3
( µ n · µ e ) − 3( µ n · ˆ
r)( µ e · ˆ
r)
=
µ 0
4π
1
r 3
( µ n ·
µ e ) − 3
3
i,j=1
µ ni µ ej I ij
Pour obtenir la deuxième ligne de l’équation précédente, on a découplé la
partie radiale de l’intégrale du second terme du crochet de sa partie angulaire
en écrivant
d
3 r =4π
∞
0
r
2 dr
dΩ
4π
L’intégrale radiale donne
4π
∞
0
r
2 dr |ϕ(r)|
2 1
r 3 =
1
r 3
9. Voir par exemple Jackson [2001], section 5.6.
Physique quantique : Exercices et applications
15.2.4 Structure hyperfine
Un effet encore plus fin, de l’ordre de 10
−6 en valeur relative, est dû à
l’interaction du moment magnétique du noyau atomique avec le moment magnétique orbital et le moment magnétique associé au spin de l’électron externe.
L’interaction entre un dipôle magnétique nucléaire et un dipôle magnétique
électronique est a priori plus faible que l’interaction entre deux dipôles électroniques par un facteur ∼ 10
−3 : en effet, le magnéton de Bohr nucléaire
µ N = q p /(2m p ) est plus petit que le magnéton de Bohr µ B = |q e |/(2m e )
par un facteur m p /m e ∼ 2000. Rappelons les expressions des opérateurs moments magnétiques de l’électron et du proton
µ e = γ e
S e ≃−2µ B
S e
µ p = γ p
S p ≃ 5.59µ N
S p
(15.28)
On montre en électrodynamique classique
9 que le champ magnétique
B( r)
d’un dipôle ponctuel
µ n à l’origine des coordonnées vaut
B( r)=−
µ 0
4πr 3
µ n − 3( µ n · ˆ
r)ˆ r
+
2µ 0
3
µ n δ( r)
(15.29)
On peut écrire comme dans (15.23) l’énergie du moment magnétique orbital
et du spin de l’électron externe dans ce champ magnétique. Nous allons nous
limiter au cas où l’électron est dans une onde s, cas où seul est à prendre
en compte le moment magnétique de spin : dans une onde s,i ln ’ yap a sd e
contribution du moment angulaire orbital au moment magnétique de l’atome.
De plus, le terme entre crochets dans (15.29) donne une contribution nulle. En
effet, si l’on calcule en théorie des perturbations l’énergie magnétique W
′ =
− µ e ·
B correspondant à l’interaction du moment magnétique électronique
dû au spin en prenant en compte le terme entre crochets de (15.29), on trouve
pour une onde s, dont la fonction d’onde ϕ(r) dépend seulement de r
W
′ =
µ 0
4π
d
3 r |ϕ(r)|
2 1
r 3
( µ n · µ e ) − 3( µ n · ˆ
r)( µ e · ˆ
r)
=
µ 0
4π
1
r 3
( µ n ·
µ e ) − 3
3
i,j=1
µ ni µ ej I ij
Pour obtenir la deuxième ligne de l’équation précédente, on a découplé la
partie radiale de l’intégrale du second terme du crochet de sa partie angulaire
en écrivant
d
3 r =4π
∞
0
r
2 dr
dΩ
4π
L’intégrale radiale donne
4π
∞
0
r
2 dr |ϕ(r)|
2 1
r 3 =
1
r 3
9. Voir par exemple Jackson [2001], section 5.6.