15. Atomes à un électron
659
nous obtenons dans un état n
W so ∼
2 e
2
2m 2
e c 2
1
r 3
∼
2 e
2
2m 2
e c 2 n 3 a 3
0
=
e
2
2a 0
e
2
c
2 1
n 3 =
α
2 R ∞
n 3
où nous avons introduit le rayon de Bohr a 0 , la constante de structure fine
α et la constante de Rydberg R ∞ : voir (1.46)–(1.48). Les corrections aux
niveaux d’énergie sont donc de l’ordre de α
2 en valeur relative, ce à quoi on
s’attend pour des corrections relativistes, car
7 (v/c)
2 ∼ α
2 .
Examinons l’effet du potentiel (15.20) sur un niveau (nl), de nombre quantique principal n et de moment angulaire orbital l. Comme l’effet sur les niveaux est faible, ∼ α
2 , on pourra utiliser la théorie des perturbations. Ni le
moment angulaire orbital
L,nilespin
S ne commutent avec W so . En revanche,
l’opérateur scalaire
L ·
S commute avec le moment angulaire total
J =
L +
S
et de plus, comme [
L
2 ,
L]=0et [
L
2 ,f(r)] = 0, le potentiel (15.20) commute
avec
L
2 , ce qui entraîne qu’il ne relie pas des niveaux de l différent. En résumé,
le potentiel spin-orbite est diagonal dans une base |l 1/2 jm j . En l’absence
du potentiel spin-orbite, la dégénérescence du niveau (nl) est 2(2l +1) et il
faudrait en principe appliquer la théorie des perturbations d’un niveau dégénéré. Mais dans le cas présent la situation est très simple, car on connaît déjà
la base |l 1/2 jm j où W so est diagonal. Le potentiel spin-orbite va partiellement lever la dégénérescence. En effet, deux valeurs j = l ± 1/2 du moment
angulaire total sont possibles, et d’après (9.138), en utilisant
J
2 =(
L +
S)
2
L ·
S =
2
2
j(j +1)− l(l +1)− s(s +1)
(15.21)
soit
L ·
S = −
2
2
(l +1)
j = l −
1
2
L ·
S =+
2
2
lj = l +
1
2
(15.22)
Les états de moment angulaire total j = l − 1/2 et j = l +1/2 ont donc
des énergies différentes et le potentiel spin-orbite lève partiellement la dégénérescence. Naturellement, chacun des deux niveaux d’énergie correspondants
possède encore une dégénérescence (2j+1). Notons que le potentiel spin-orbite
n’affecte pas les ondes s (l =0).
Comme cas particulier, examinons le niveau 2p (l =1 ) de l’hydrogène.
Les deux valeurs possibles de j sont j =1 /2 et j =3 /2. Les niveaux correspondants sont notés 2p 1/2 et 2p 3/2 . La transition 2p → 1s est dédoublée, ce
qui est facilement confirmé en spectroscopie. Dans le cas de l’hydrogène, les
niveaux 2s 1/2 et 2p 1/2 restent confondus à l’approximation de l’équation de
7. Pour un noyau de charge Z et un électron unique (v/c) 2 ∼ (Zα) 2 .
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nous obtenons dans un état n
W so ∼
2 e
2
2m 2
e c 2
1
r 3
∼
2 e
2
2m 2
e c 2 n 3 a 3
0
=
e
2
2a 0
e
2
c
2 1
n 3 =
α
2 R ∞
n 3
où nous avons introduit le rayon de Bohr a 0 , la constante de structure fine
α et la constante de Rydberg R ∞ : voir (1.46)–(1.48). Les corrections aux
niveaux d’énergie sont donc de l’ordre de α
2 en valeur relative, ce à quoi on
s’attend pour des corrections relativistes, car
7 (v/c)
2 ∼ α
2 .
Examinons l’effet du potentiel (15.20) sur un niveau (nl), de nombre quantique principal n et de moment angulaire orbital l. Comme l’effet sur les niveaux est faible, ∼ α
2 , on pourra utiliser la théorie des perturbations. Ni le
moment angulaire orbital
L,nilespin
S ne commutent avec W so . En revanche,
l’opérateur scalaire
L ·
S commute avec le moment angulaire total
J =
L +
S
et de plus, comme [
L
2 ,
L]=0et [
L
2 ,f(r)] = 0, le potentiel (15.20) commute
avec
L
2 , ce qui entraîne qu’il ne relie pas des niveaux de l différent. En résumé,
le potentiel spin-orbite est diagonal dans une base |l 1/2 jm j . En l’absence
du potentiel spin-orbite, la dégénérescence du niveau (nl) est 2(2l +1) et il
faudrait en principe appliquer la théorie des perturbations d’un niveau dégénéré. Mais dans le cas présent la situation est très simple, car on connaît déjà
la base |l 1/2 jm j où W so est diagonal. Le potentiel spin-orbite va partiellement lever la dégénérescence. En effet, deux valeurs j = l ± 1/2 du moment
angulaire total sont possibles, et d’après (9.138), en utilisant
J
2 =(
L +
S)
2
L ·
S =
2
2
j(j +1)− l(l +1)− s(s +1)
(15.21)
soit
L ·
S = −
2
2
(l +1)
j = l −
1
2
L ·
S =+
2
2
lj = l +
1
2
(15.22)
Les états de moment angulaire total j = l − 1/2 et j = l +1/2 ont donc
des énergies différentes et le potentiel spin-orbite lève partiellement la dégénérescence. Naturellement, chacun des deux niveaux d’énergie correspondants
possède encore une dégénérescence (2j+1). Notons que le potentiel spin-orbite
n’affecte pas les ondes s (l =0).
Comme cas particulier, examinons le niveau 2p (l =1 ) de l’hydrogène.
Les deux valeurs possibles de j sont j =1 /2 et j =3 /2. Les niveaux correspondants sont notés 2p 1/2 et 2p 3/2 . La transition 2p → 1s est dédoublée, ce
qui est facilement confirmé en spectroscopie. Dans le cas de l’hydrogène, les
niveaux 2s 1/2 et 2p 1/2 restent confondus à l’approximation de l’équation de
7. Pour un noyau de charge Z et un électron unique (v/c) 2 ∼ (Zα) 2 .