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Physique quantique : Exercices et applications
l’expression du hamiltonien de la structure fine. Dans le référentiel où le noyau
est au repos, ou référentiel du noyau, le champ électromagnétique est le gradient du potentiel électrostatique V (r)/q e créé par le noyau et les (Z − 1)
électrons des couches internes, et l’électron externe se déplace à une vitesse
v dans ce référentiel. Dans le référentiel où il est au repos, l’électron voit le
noyau se déplacer avec une vitesse − v, et compte tenu des lois de transformation du champ électromagnétique dans un changement de référentiel d’inertie,
cet électron voit non seulement un champ électrique, mais aussi un champ magnétique donné en fonction du champ électrostatique
E dans le référentiel du
noyau par
5
B ≃−
1
c 2 v ×
E ≃
1
q e c 2
1
r
dV (r)
dr
p
m e
× r
(15.17)
Ce champ magnétique interagit avec le moment magnétique µ = γγ s de l’électron externe en donnant une énergie d’interaction
W so = − µ ·
B ≃−
q e
m e
s ·
B
(15.18)
car le facteur gyromagnétique γ ≃ q e /m e . Combinant ces deux équations et
introduisant le moment angulaire orbital l = r ×
p, on en déduit le potentiel
spin-orbite
W so =
1
m 2
e c 2
1
r
dV (r)
dr
l · s
(15.19)
Toutefois, notre démonstration est critiquable car nous avons utilisé les formules de transformation entre référentiels d’inertie. Or, le référentiel de l’électron est un référentiel accéléré par rapport à celui du noyau puisque l’électron
tourne autour du noyau. La prise en compte de ce mouvement de rotation se
traduit par un phénomène de précession du spin, la précession de Thomas
6
(exercice 19.6.3), qui réduit d’un facteur deux le résultat (15.19). En fin de
compte, l’expression quantique correcte du potentiel spin-orbite s’obtient en
corrigeant (15.19) par un facteur 1/2 et en remplaçant les quantités classiques
l et s par les opérateurs
L et
S
W so =
1
2m 2
e c 2
1
r
dV (r)
dr
L ·
S
(15.20)
Évaluons l’ordre de grandeur de la correction aux niveaux d’énergie pour
l’atome d’hydrogène ; comme
L et
S sont d’ordre et que V (r)=−e
2 /r,
5. Dans l’expression (15.17), on a utilisé l’approximation v ≪ c : la formule exacte
contient un facteur (1 − v 2 /c 2 ) −1/2 .
6. Comme le “paradoxe” des jumeaux de Langevin, auquel elle est d’ailleurs reliée, la
précession de Thomas est un phénomène de relativité restreinte, et non de relativité générale,
bien que dans les deux cas, on utilise des référentiels accélérés.
Physique quantique : Exercices et applications
l’expression du hamiltonien de la structure fine. Dans le référentiel où le noyau
est au repos, ou référentiel du noyau, le champ électromagnétique est le gradient du potentiel électrostatique V (r)/q e créé par le noyau et les (Z − 1)
électrons des couches internes, et l’électron externe se déplace à une vitesse
v dans ce référentiel. Dans le référentiel où il est au repos, l’électron voit le
noyau se déplacer avec une vitesse − v, et compte tenu des lois de transformation du champ électromagnétique dans un changement de référentiel d’inertie,
cet électron voit non seulement un champ électrique, mais aussi un champ magnétique donné en fonction du champ électrostatique
E dans le référentiel du
noyau par
5
B ≃−
1
c 2 v ×
E ≃
1
q e c 2
1
r
dV (r)
dr
p
m e
× r
(15.17)
Ce champ magnétique interagit avec le moment magnétique µ = γγ s de l’électron externe en donnant une énergie d’interaction
W so = − µ ·
B ≃−
q e
m e
s ·
B
(15.18)
car le facteur gyromagnétique γ ≃ q e /m e . Combinant ces deux équations et
introduisant le moment angulaire orbital l = r ×
p, on en déduit le potentiel
spin-orbite
W so =
1
m 2
e c 2
1
r
dV (r)
dr
l · s
(15.19)
Toutefois, notre démonstration est critiquable car nous avons utilisé les formules de transformation entre référentiels d’inertie. Or, le référentiel de l’électron est un référentiel accéléré par rapport à celui du noyau puisque l’électron
tourne autour du noyau. La prise en compte de ce mouvement de rotation se
traduit par un phénomène de précession du spin, la précession de Thomas
6
(exercice 19.6.3), qui réduit d’un facteur deux le résultat (15.19). En fin de
compte, l’expression quantique correcte du potentiel spin-orbite s’obtient en
corrigeant (15.19) par un facteur 1/2 et en remplaçant les quantités classiques
l et s par les opérateurs
L et
S
W so =
1
2m 2
e c 2
1
r
dV (r)
dr
L ·
S
(15.20)
Évaluons l’ordre de grandeur de la correction aux niveaux d’énergie pour
l’atome d’hydrogène ; comme
L et
S sont d’ordre et que V (r)=−e
2 /r,
5. Dans l’expression (15.17), on a utilisé l’approximation v ≪ c : la formule exacte
contient un facteur (1 − v 2 /c 2 ) −1/2 .
6. Comme le “paradoxe” des jumeaux de Langevin, auquel elle est d’ailleurs reliée, la
précession de Thomas est un phénomène de relativité restreinte, et non de relativité générale,
bien que dans les deux cas, on utilise des référentiels accélérés.