15. Atomes à un électron
657
Le choix (15.15) de la fonction d’onde d’essai n’est pas excellent (l’erreur sur
l’énergie est ∼ 40 % !), car la décroissance à l’infini de cette fonction d’onde
est beaucoup trop lente. Avec une fonction d’onde d’essai gaussienne, on trouverait bien sûr le résultat exact ω/2. Un exemple important d’application
de la méthode variationnelle sera donné au § 16.1.1 : le calcul de l’énergie de
l’état fondamental de l’atome d’hélium.
15.2 Atomes à un électron
15.2.1 Niveaux d’énergie en l’absence de spin
Au chapitre 9, nous avons étudié le spectre de l’atome d’hydrogène, atome
à un seul électron ; une généralisation immédiate est donnée par les ions He
+ ,
Li
++ , etc. Lorsque le nombre d’électrons est différent de un, il n’existe plus
de solution analytique au calcul des niveaux d’énergie. On a recours à des méthodes d’approximation, qui peuvent être très précises dans le cas des atomes
légers et en particulier de l’hélium. Un autre cas où l’on peut utiliser une approximation simple est celui des alcalins. En effet, en première approximation,
un alcalin est un atome où un électron externe est soumis à un potentiel effectif créé par le noyau atomique et les (Z − 1) autres électrons, appelés électrons
des couches internes. Le spectre est alors semblable à celui de l’atome d’hydrogène, avec la différence que l’on n’observe pas de dégénérescence entre des
niveaux de moment angulaire orbital différent car le potentiel effectif n’est
pas en 1/r : dans le cas du sodium, par exemple, le niveau fondamental
est un niveau 3s et le niveau 3p est intermédiaire entre les niveaux 3s et
4s (figure 9.7).
Les spectres des figures 9.6 et 9.7 sont obtenus en négligeant le spin de
l’électron externe ainsi que le spin du noyau atomique. Nous allons traiter
successivement les deux modifications introduites par la prise en compte de
ces spins : la structure fine induite par l’interaction entre le moment angulaire
de l’électron et son spin, et la structure hyperfine induite par l’interaction du
spin nucléaire avec le spin et le moment angulaire orbital de l’électron.
15.2.2 Structure fine
La structure fine est un effet d’origine relativiste dont l’expression correcte s’obtient à partir d’une équation d’onde quantique et relativiste valable
pour les particules de spin 1/2, l’équation de Dirac
4 que nous étudierons au
chapitre 19. Dans le cadre d’une description classique, nous allons donner
un argument intuitif, mais qui n’est pas entièrement correct, pour justifier
4. L’équation de Dirac n’est pas la seule équation d’onde quantique et relativiste : une
autre équation relativiste importante est l’équation de Klein-Gordon qui décrit les particules de spin zéro. Toutefois, aucune de ces deux équations n’est entièrement cohérente :
le mariage de la mécanique quantique et de la relativité exige une théorie des champs
quantifiés.
657
Le choix (15.15) de la fonction d’onde d’essai n’est pas excellent (l’erreur sur
l’énergie est ∼ 40 % !), car la décroissance à l’infini de cette fonction d’onde
est beaucoup trop lente. Avec une fonction d’onde d’essai gaussienne, on trouverait bien sûr le résultat exact ω/2. Un exemple important d’application
de la méthode variationnelle sera donné au § 16.1.1 : le calcul de l’énergie de
l’état fondamental de l’atome d’hélium.
15.2 Atomes à un électron
15.2.1 Niveaux d’énergie en l’absence de spin
Au chapitre 9, nous avons étudié le spectre de l’atome d’hydrogène, atome
à un seul électron ; une généralisation immédiate est donnée par les ions He
+ ,
Li
++ , etc. Lorsque le nombre d’électrons est différent de un, il n’existe plus
de solution analytique au calcul des niveaux d’énergie. On a recours à des méthodes d’approximation, qui peuvent être très précises dans le cas des atomes
légers et en particulier de l’hélium. Un autre cas où l’on peut utiliser une approximation simple est celui des alcalins. En effet, en première approximation,
un alcalin est un atome où un électron externe est soumis à un potentiel effectif créé par le noyau atomique et les (Z − 1) autres électrons, appelés électrons
des couches internes. Le spectre est alors semblable à celui de l’atome d’hydrogène, avec la différence que l’on n’observe pas de dégénérescence entre des
niveaux de moment angulaire orbital différent car le potentiel effectif n’est
pas en 1/r : dans le cas du sodium, par exemple, le niveau fondamental
est un niveau 3s et le niveau 3p est intermédiaire entre les niveaux 3s et
4s (figure 9.7).
Les spectres des figures 9.6 et 9.7 sont obtenus en négligeant le spin de
l’électron externe ainsi que le spin du noyau atomique. Nous allons traiter
successivement les deux modifications introduites par la prise en compte de
ces spins : la structure fine induite par l’interaction entre le moment angulaire
de l’électron et son spin, et la structure hyperfine induite par l’interaction du
spin nucléaire avec le spin et le moment angulaire orbital de l’électron.
15.2.2 Structure fine
La structure fine est un effet d’origine relativiste dont l’expression correcte s’obtient à partir d’une équation d’onde quantique et relativiste valable
pour les particules de spin 1/2, l’équation de Dirac
4 que nous étudierons au
chapitre 19. Dans le cadre d’une description classique, nous allons donner
un argument intuitif, mais qui n’est pas entièrement correct, pour justifier
4. L’équation de Dirac n’est pas la seule équation d’onde quantique et relativiste : une
autre équation relativiste importante est l’équation de Klein-Gordon qui décrit les particules de spin zéro. Toutefois, aucune de ces deux équations n’est entièrement cohérente :
le mariage de la mécanique quantique et de la relativité exige une théorie des champs
quantifiés.