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Physique quantique : Exercices et applications
Dans le cadre de la paramétrisation choisie, le meilleur résultat pour E 0 sera
obtenu en cherchant le minimum de H(α)
d
dα
H(α)
α=α0
=0
(15.13)
et une borne supérieure sur E 0 est
E 0 ≤≤ϕ(α 0 )|H|ϕ(α 0 )
(15.14)
Pour comparer deux choix différents |ϕ(α) et | ˜
ϕ(β),o nc o m p a r el e sd e u x
minima et le meilleur choix est celui qui donne la valeur minimale de H.I l
est immédiat de généraliser à un vecteur dépendant de plusieurs paramètres
α 1 ,...,α p : on cherche le minimum de H par
∂
∂α i
H(α 1 ,...α p )
αj =αj0
=0
À titre d’exemple, examinons le calcul variationnel de l’état fondamental
de l’oscillateur harmonique, en choisissant comme fonction d’onde d’essai une
fonction normalisable de norme unité
x|ϕ(α) = ϕ α (x)=
2
π
α
3/2
1
x 2 + α 2
(15.15)
Les intégrales nécessaires aux calculs ci-dessous se déduisent de
I(α)=
∞
−∞
dx
x 2 + α 2 =
π
α
(15.16)
en différentiant I(α) par rapport à α
2 . Partant de la forme (10.9) du hamiltonien de l’oscillateur harmonique, on calcule H(α)
H(α)=
1
2
ω
∞
−∞
dx
dϕ α
dx
2
+ x
2 ϕ
2
α (x)
=
1
2
ω
1
2α 2 + α
2
Le premier terme du crochet est l’énergie cinétique et le second l’énergie potentielle. H(α) est minimum pour α
2 = α
2
0 =1/
√
2 et
H(α 0 )=
ω
√
2
>E 0 =
ω
2
Pour α = α 0 , l’énergie cinétique moyenne et l’énergie potentielle moyenne
sont égales
1
2m
P
2 =
1
2
mω
2 X
2 =
ω
2
√
2