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Physique quantique : Exercices et applications
Utilisant un résultat de l’exercice 10.4.1, on déduit de (15.6) le déplacement
du niveau n à l’ordre λ
∆E
(n)
1
=
3
4
λω
2n
2 +2n +1
(15.9)
Même si λ est petit, le résultat diverge pour les grandes valeurs de n, car plus
n est grand, et plus la fonction d’onde est importante aux grandes valeurs
de q, et donc plus l’effet de la perturbation en q
4 se fait sentir : la perturbation en λQ
4 n’est jamais “petite”. Nous avons pris comme hypothèse de
départ l’existence d’un développement en puissances de λ avec un rayon de
convergence non nul. En pratique, cette hypothèse d’analyticité à λ =0n’est
pas toujours vérifiée, et l’oscillateur anharmonique que nous venons d’examiner en fournit un exemple. En effet, il est facile de comprendre que E
(n) ne
peut pas être analytique à λ =0 , car le hamiltonien change brutalement de
nature en ce point. Pour λ>0, il est borné inférieurement et les états liés
sont présents, mais pour λ<0 il n’est plus borné inférieurement et les états
liés disparaissent ! Le développement n’a plus de sens pour λ<0.E nf a i t ,l e
développement perturbatif est dans ce cas un développement asymptotique,
qui donne de bons résultats pour λ>0 si l’on garde un nombre de termes
suffisamment petit, mais qui diverge si on essaie de le pousser trop loin. Ce
type de développement est bien connu en mathématiques : un bon exemple
en est la formule de Stirling valable pour n ≫ 1
Γ(n +1)=n!=
n
e
n √
2πn
1+
1
12n
+
1
288n 2 + ...
(15.10)
qui est un développement asymptotique, non convergent, en puissances de
1/n. Il existe des méthodes sophistiquées pour sommer ces développements
asymptotiques
3 .
15.1.3 Cas d’un niveau dégénéré
Nous passons maintenant au cas d’un niveau dégénéré, en appelant H
(n)
le sous-espace de dimension N de la valeur propre E
(n)
0 ; le projecteur P
(n)
sur H
(n) s’écrit
P
(n) =
N
r=1
|n, rn, r|
(15.11)
Dans le sous-espace H
(n) , l’opérateur W est représenté par une matrice
N × N d’éléments W
(n)
sr
= n, s|W |n, r que l’on peut diagonaliser.
3. Voir par exemple Zinn-Justin [1989], chapitre 37.
Physique quantique : Exercices et applications
Utilisant un résultat de l’exercice 10.4.1, on déduit de (15.6) le déplacement
du niveau n à l’ordre λ
∆E
(n)
1
=
3
4
λω
2n
2 +2n +1
(15.9)
Même si λ est petit, le résultat diverge pour les grandes valeurs de n, car plus
n est grand, et plus la fonction d’onde est importante aux grandes valeurs
de q, et donc plus l’effet de la perturbation en q
4 se fait sentir : la perturbation en λQ
4 n’est jamais “petite”. Nous avons pris comme hypothèse de
départ l’existence d’un développement en puissances de λ avec un rayon de
convergence non nul. En pratique, cette hypothèse d’analyticité à λ =0n’est
pas toujours vérifiée, et l’oscillateur anharmonique que nous venons d’examiner en fournit un exemple. En effet, il est facile de comprendre que E
(n) ne
peut pas être analytique à λ =0 , car le hamiltonien change brutalement de
nature en ce point. Pour λ>0, il est borné inférieurement et les états liés
sont présents, mais pour λ<0 il n’est plus borné inférieurement et les états
liés disparaissent ! Le développement n’a plus de sens pour λ<0.E nf a i t ,l e
développement perturbatif est dans ce cas un développement asymptotique,
qui donne de bons résultats pour λ>0 si l’on garde un nombre de termes
suffisamment petit, mais qui diverge si on essaie de le pousser trop loin. Ce
type de développement est bien connu en mathématiques : un bon exemple
en est la formule de Stirling valable pour n ≫ 1
Γ(n +1)=n!=
n
e
n √
2πn
1+
1
12n
+
1
288n 2 + ...
(15.10)
qui est un développement asymptotique, non convergent, en puissances de
1/n. Il existe des méthodes sophistiquées pour sommer ces développements
asymptotiques
3 .
15.1.3 Cas d’un niveau dégénéré
Nous passons maintenant au cas d’un niveau dégénéré, en appelant H
(n)
le sous-espace de dimension N de la valeur propre E
(n)
0 ; le projecteur P
(n)
sur H
(n) s’écrit
P
(n) =
N
r=1
|n, rn, r|
(15.11)
Dans le sous-espace H
(n) , l’opérateur W est représenté par une matrice
N × N d’éléments W
(n)
sr
= n, s|W |n, r que l’on peut diagonaliser.
3. Voir par exemple Zinn-Justin [1989], chapitre 37.