15. Atomes à un électron
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de l’ordre non trivial le plus bas en λ, en renvoyant aux ouvrages classiques
pour le cas général.
15.1.2 Cas d’une valeur propre simple de H 0
Nous partons de H 0 |n = E
(n)
0 |n et posons |ϕ 0 = |n avec ϕ 0 |ϕ 0 =1 ,
ainsi que E 0 = E
(n)
0
afin d’alléger les notations. En pratique, nous nous intéressons au développement perturbatif (15.4) de l’énergie et le développement
perturbatif (15.3) du vecteur |ϕ(λ) est un auxiliaire de calcul, ce qui nous
permet de fixer |ϕ(λ) par une condition commode : ϕ 0 |ϕ(λ) = ϕ 0 |ϕ 0 =1.
Avec cette condition, |ϕ(λ) n’est pas en général de norme unité, mais il est
toujours possible de le normaliser si nécessaire. Nous avons, à l’ordre λ inclus,
d’une part
H(λ)|ϕ(λ) = H 0 |ϕ 0 + λW |ϕ 0 + λH 0 |ϕ 1
et d’autre part,
H(λ)|ϕ(λ) =(E 0 + λE 1 )|ϕ(λ) = E 0 |ϕ 0 + λE 1 |ϕ 0 + λE 0 |ϕ 1
d’où, en identifiant les termes d’ordre λ,
W |ϕ 0 + H 0 |ϕ 1 = E 1 |ϕ 0 + E 0 |ϕ 1
Multipliant à gauche les deux membres de cette équation par le bra ϕ 0 | et
tenant compte de ϕ 0 |H 0 = ϕ 0 |E 0 , nous obtenons
2
E 1 = ϕ 0 |W |ϕ 0
(15.5)
ce que l’on peut écrire, en appelant ∆E 1 la différence d’énergie entre le cas
λ =0et le cas λ =0au premier ordre en λ
∆E 1 = λϕ 0 |W |ϕ 0
(15.6)
Le terme en λ
2 n’est pas très difficile à obtenir (exercice 15.6.1)
∆E
(n)
2
= λ
2
k =n
||k|W |n|
2
E
(n)
0
− E
(k)
0
(15.7)
Comme application, calculons le déplacement des niveaux de l’oscillateur harmonique à une dimension sous l’influence d’une perturbation anharmonique
en q
4
λW = λ
m
2 ω
3
Q
4
(15.8)
2. La formule (15.5) s’obtient immédiatement à partir du théorème de FeynmanHellmann, exercice 4.4.3, équation (4.49).