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Physique quantique : Exercices et applications
Dans cette section, nous allons exposer la méthode des perturbations indépendante du temps. Cette méthode consiste à utiliser comme point de départ
un hamiltonien H 0 que l’on sait diagonaliser exactement, et que l’on perturbe
en lui ajoutant un terme W afin d’obtenir le hamiltonien “exact” H = H 0 +W ,
dans le cadre d’un domaine d’approximation prédéfini : cf. la section 4.3. On
écrira
H(λ)=H 0 + λW
(15.1)
où l’on a introduit un paramètre réel λ tel que H = H 0 si λ =0et H =
H 0 + W si λ =1 .S iλ → 0, on peut espérer que la perturbation λW est
en un certain sens
1 “petite” par rapport à H 0 . Il peut arriver que l’on puisse
effectivement faire varier λ. Par exemple, si λW correspond à l’interaction
d’un système atomique avec un champ électromagnétique extérieur, on peut
modifier à volonté la valeur de ce champ extérieur et donc λ : λ → 0 si le champ
s’annule. Mais, en général, la perturbation est fixée par des données physiques
avec lesquelles on ne peut pas jouer. Dans ce cas, λ est un paramètre fictif
que l’on fait varier de façon artificielle, en lui donnant à la fin des calculs sa
valeur physique λ =1. Nous avons déjà eu recours à cet artifice dans l’exposé
de la théorie des perturbations dépendant du temps au § 8.5.3, en écrivant la
perturbation sous la forme λW (t) et en rétablissant λ =1àl afi nd uc a l c u l .
Nous supposons donc connu le spectre de H 0 .SoitE
(n)
0
ses valeurs propres
et |n, r ses vecteurs propres, r étant un indice de dégénérescence comme au
§ 2.3.1
H 0 |n, r = E
(n)
0 |n, r
(15.2)
Nous cherchons les valeurs propres et vecteurs propres de H(λ) sous la forme
d’un développement en puissances de λ,a p p e l édéveloppement perturbatif.
Si H(λ)|ϕ(λ) = E(λ)|ϕ(λ), nous écrivons les développements du vecteur
propre |ϕ(λ) et de l’énergie E(λ)
|ϕ(λ) = |ϕ 0 + λ|ϕ 1 + λ
2 |ϕ 2 + ···
(15.3)
E(λ)=E
(n)
0
+ λE
(n)
1
+ λ
2 E
(n)
2 + ···
(15.4)
Si λ =0 , |ϕ(λ =0 ) ≡| ϕ 0 = |n, r et E = E
(n)
0 . Notre hypothèse implicite
est qu’un développement en λ existe avec un rayon de convergence non nul,
ou, en d’autre termes, que l’énergie est une fonction analytique de λ au point
λ =0. Il est nécessaire de distinguer deux cas.
• La valeur propre E
(n)
0
de H 0 est simple, et on parle alors de théorie des
perturbations non dégénérée.
• La valeur propre E
(n)
0
de H 0 est dégénérée avec une dégénérescence N ,
et on parle alors de théorie des perturbations dégénérée.
Nous allons traiter successivement ces deux cas, sans entrer dans les détails de
la méthode générale du calcul à tous les ordres en λ. Nous nous contenterons
1. Définir rigoureusement qu’un opérateur est “petit” par rapport à un autre est un
problème mathématique des plus complexes.
Physique quantique : Exercices et applications
Dans cette section, nous allons exposer la méthode des perturbations indépendante du temps. Cette méthode consiste à utiliser comme point de départ
un hamiltonien H 0 que l’on sait diagonaliser exactement, et que l’on perturbe
en lui ajoutant un terme W afin d’obtenir le hamiltonien “exact” H = H 0 +W ,
dans le cadre d’un domaine d’approximation prédéfini : cf. la section 4.3. On
écrira
H(λ)=H 0 + λW
(15.1)
où l’on a introduit un paramètre réel λ tel que H = H 0 si λ =0et H =
H 0 + W si λ =1 .S iλ → 0, on peut espérer que la perturbation λW est
en un certain sens
1 “petite” par rapport à H 0 . Il peut arriver que l’on puisse
effectivement faire varier λ. Par exemple, si λW correspond à l’interaction
d’un système atomique avec un champ électromagnétique extérieur, on peut
modifier à volonté la valeur de ce champ extérieur et donc λ : λ → 0 si le champ
s’annule. Mais, en général, la perturbation est fixée par des données physiques
avec lesquelles on ne peut pas jouer. Dans ce cas, λ est un paramètre fictif
que l’on fait varier de façon artificielle, en lui donnant à la fin des calculs sa
valeur physique λ =1. Nous avons déjà eu recours à cet artifice dans l’exposé
de la théorie des perturbations dépendant du temps au § 8.5.3, en écrivant la
perturbation sous la forme λW (t) et en rétablissant λ =1àl afi nd uc a l c u l .
Nous supposons donc connu le spectre de H 0 .SoitE
(n)
0
ses valeurs propres
et |n, r ses vecteurs propres, r étant un indice de dégénérescence comme au
§ 2.3.1
H 0 |n, r = E
(n)
0 |n, r
(15.2)
Nous cherchons les valeurs propres et vecteurs propres de H(λ) sous la forme
d’un développement en puissances de λ,a p p e l édéveloppement perturbatif.
Si H(λ)|ϕ(λ) = E(λ)|ϕ(λ), nous écrivons les développements du vecteur
propre |ϕ(λ) et de l’énergie E(λ)
|ϕ(λ) = |ϕ 0 + λ|ϕ 1 + λ
2 |ϕ 2 + ···
(15.3)
E(λ)=E
(n)
0
+ λE
(n)
1
+ λ
2 E
(n)
2 + ···
(15.4)
Si λ =0 , |ϕ(λ =0 ) ≡| ϕ 0 = |n, r et E = E
(n)
0 . Notre hypothèse implicite
est qu’un développement en λ existe avec un rayon de convergence non nul,
ou, en d’autre termes, que l’énergie est une fonction analytique de λ au point
λ =0. Il est nécessaire de distinguer deux cas.
• La valeur propre E
(n)
0
de H 0 est simple, et on parle alors de théorie des
perturbations non dégénérée.
• La valeur propre E
(n)
0
de H 0 est dégénérée avec une dégénérescence N ,
et on parle alors de théorie des perturbations dégénérée.
Nous allons traiter successivement ces deux cas, sans entrer dans les détails de
la méthode générale du calcul à tous les ordres en λ. Nous nous contenterons
1. Définir rigoureusement qu’un opérateur est “petit” par rapport à un autre est un
problème mathématique des plus complexes.