14. Particules identiques
647
4. Approximation de Hartree. Pour “briser la hiérarchie BBGKY”, on utilise l’approximation de Hartree : on suppose que ρ
(2) s’exprime en fonction
de ρ
(1) , autrement dit on néglige les corrélations à deux particules
ρ
(2) ( x 1 ,, x 2 ; y 1 ,, y 2 ) ≃ ρ
(1) ( x 1 ,, y 1 )ρ
(1) ( x 2 ,, y 2 )
(14.132)
Montrer que l’action de W se réduit alors à celle d’un potentiel à une particule
W eff ( x 1 )=
d
3 zW( z, x 1 )ρ
(1) ( z, z)
Soit ˜
u i ( x ), les fonctions propres du hamiltonien effectif à une particule
h
eff
1 = −
2
2m
∇
2
x + U ( x )+W eff ( x )
h
eff
1 ˜
u i ( x )=˜ ε i ˜
u i ( x )
Montrer que
ρ
(1) ( x, , y )=
N
i=1
˜
u i ( x )˜ u
∗
i ( y)
(14.133)
où les ˜
u i vérifient
−
2
2m
∇
2
x + U ( x )+
N
k=1
d
3 z ˜
u
∗
k ( z )W ( z, , x )˜ u k ( z )
˜
u i ( x )=˜ ε i ˜
u i ( x )
(14.134)
Ces équations sont les équations de Hartree. Le potentiel effectif
W eff ( x )=
N
k=1
d
3 z ˜
u
∗
k ( z )W ( z, , x 1 )˜ u k ( z )
dépend des fonctions inconnues ˜
u i ( x ). Pour déterminer les ˜
u i ,o np a r td e
˜
u i = u i pour calculer W eff et on procède par itération jusqu’au moment où
l’équation (14.134) est satisfaite ; la méthode de Hartree est une méthode
autocohérente.
5. Approximation de Hartree-Fock. L’approximation faite pour obtenir
les équations de Hartree n’obéit pas à la propriété d’antisymétrie de ρ
(2) dans
l’échange x 1 ↔ x 2 . L’approximation de Hartree-Fock consiste à écrire
ρ
(2) ( x 1 ,, x 2 ; y 1 ,, y 2 ) ≃ ρ
(1) ( x 1 ,, y 1 )ρ
(1) ( x 2 ,, y 2 )− ρ
(1) ( x 2 ,, y 1 )ρ
(1) ( x 1 ,, y 2 ) (14.135)
Vérifier que cette hypothèse est correcte pour des fermions indépendants.
Montrer que l’on doit ajouter au membre de gauche de (14.134), le terme
d’échange
−
N
k=1
d
3 z ˜
u
∗
k ( z )W ( z, , x )˜ u k ( x)˜ u i ( z )
(14.136)
647
4. Approximation de Hartree. Pour “briser la hiérarchie BBGKY”, on utilise l’approximation de Hartree : on suppose que ρ
(2) s’exprime en fonction
de ρ
(1) , autrement dit on néglige les corrélations à deux particules
ρ
(2) ( x 1 ,, x 2 ; y 1 ,, y 2 ) ≃ ρ
(1) ( x 1 ,, y 1 )ρ
(1) ( x 2 ,, y 2 )
(14.132)
Montrer que l’action de W se réduit alors à celle d’un potentiel à une particule
W eff ( x 1 )=
d
3 zW( z, x 1 )ρ
(1) ( z, z)
Soit ˜
u i ( x ), les fonctions propres du hamiltonien effectif à une particule
h
eff
1 = −
2
2m
∇
2
x + U ( x )+W eff ( x )
h
eff
1 ˜
u i ( x )=˜ ε i ˜
u i ( x )
Montrer que
ρ
(1) ( x, , y )=
N
i=1
˜
u i ( x )˜ u
∗
i ( y)
(14.133)
où les ˜
u i vérifient
−
2
2m
∇
2
x + U ( x )+
N
k=1
d
3 z ˜
u
∗
k ( z )W ( z, , x )˜ u k ( z )
˜
u i ( x )=˜ ε i ˜
u i ( x )
(14.134)
Ces équations sont les équations de Hartree. Le potentiel effectif
W eff ( x )=
N
k=1
d
3 z ˜
u
∗
k ( z )W ( z, , x 1 )˜ u k ( z )
dépend des fonctions inconnues ˜
u i ( x ). Pour déterminer les ˜
u i ,o np a r td e
˜
u i = u i pour calculer W eff et on procède par itération jusqu’au moment où
l’équation (14.134) est satisfaite ; la méthode de Hartree est une méthode
autocohérente.
5. Approximation de Hartree-Fock. L’approximation faite pour obtenir
les équations de Hartree n’obéit pas à la propriété d’antisymétrie de ρ
(2) dans
l’échange x 1 ↔ x 2 . L’approximation de Hartree-Fock consiste à écrire
ρ
(2) ( x 1 ,, x 2 ; y 1 ,, y 2 ) ≃ ρ
(1) ( x 1 ,, y 1 )ρ
(1) ( x 2 ,, y 2 )− ρ
(1) ( x 2 ,, y 1 )ρ
(1) ( x 1 ,, y 2 ) (14.135)
Vérifier que cette hypothèse est correcte pour des fermions indépendants.
Montrer que l’on doit ajouter au membre de gauche de (14.134), le terme
d’échange
−
N
k=1
d
3 z ˜
u
∗
k ( z )W ( z, , x )˜ u k ( x)˜ u i ( z )
(14.136)