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Physique quantique : Exercices et applications
Suggestion : utiliser (14.61). Si |Φ N est un état défini par des nombres d’occupation n 1 = n 2 = ··· = n N =1 , tous les autres n i étant nuls, montrer
que
ρ
(1) ( x, , y )=
N
i=1
u i ( x )u
∗
i ( y)
(14.129)
où les u i sont les fonctions propres d’un hamiltonien à une particule h 1
h 1 u i ( x )=
−
2
2m
∇
2
x + U ( x )
u i ( x )=ε i u i ( x )
(14.130)
En déduire que l’évolution de ρ
(1) ( x, , y ; t) peut s’écrire
i∂ t ρ
(1) =[h 1 ,ρ
(1) ]
2. La matrice statistique à deux particules (à un facteur multiplicatif
N (N − 1) près) est définie par
ρ
(2) ( x 1 ,, x 2 ; y 1 ,, y 2 )=Φ N |ψ
† ( y 1 )ψ
† ( y 2 )ψ( x 2 )ψ( x 1 )|Φ N
(14.131)
Montrer que ρ
(2) est antisymétrique dans l’échange x 1 ↔ x 2 (ou y 1 ↔ y 2 )e t
que la trace partielle sur la particule 2 est donnée par
Tr 2 ρ
(2) =
d
3 zρ
(2) ( x, , z; y, , z)=(N − 1)ρ
(1) ( x, , y )
Quelle est l’interprétation physique de ρ
(2) ( x, , y; x, , y) ? Donner l’expression de
ρ
(2) dans le cas de fermions indépendants et vérifier que Tr 2 ρ
(2) =(N −1)ρ
(1) .
3. On se propose d’obtenir l’équation d’évolution de ρ
(1) lorsque le hamiltonien est donné par (14.63). Montrer que la contribution de W à cette
évolution est
i∂
W
t ρ
(1) =
d
3 z [W ( z, x 1 ) − W ( z, y 1 )] ρ
(2) ( x 1 ,, z; y 1 ,, z)
et que l’équation d’évolution complète peut s’écrire sous la forme
i∂ t ρ
(1) =[h 1 ,ρ
(1) ]+Tr 2
[W,ρ
(2) ]
Suggestion : justifier l’égalité
x 1 x 2 |W | y 1 y 2 = δ
(3) ( x 1 − y 1 )δ
(3) ( x 2 − y 2 )W ( x 1 ,, x 2 )
L’équation d’évolution de ρ
(1) fait intervenir ρ
(2) , on montrerait de même que
celle de ρ
(2) fait intervenir ρ
(3) , etc. : c’est la hiérachie dite BBGKY
29 .
29. Born, Bogoliubov, Green, Kirkwood et Yvon.
Physique quantique : Exercices et applications
Suggestion : utiliser (14.61). Si |Φ N est un état défini par des nombres d’occupation n 1 = n 2 = ··· = n N =1 , tous les autres n i étant nuls, montrer
que
ρ
(1) ( x, , y )=
N
i=1
u i ( x )u
∗
i ( y)
(14.129)
où les u i sont les fonctions propres d’un hamiltonien à une particule h 1
h 1 u i ( x )=
−
2
2m
∇
2
x + U ( x )
u i ( x )=ε i u i ( x )
(14.130)
En déduire que l’évolution de ρ
(1) ( x, , y ; t) peut s’écrire
i∂ t ρ
(1) =[h 1 ,ρ
(1) ]
2. La matrice statistique à deux particules (à un facteur multiplicatif
N (N − 1) près) est définie par
ρ
(2) ( x 1 ,, x 2 ; y 1 ,, y 2 )=Φ N |ψ
† ( y 1 )ψ
† ( y 2 )ψ( x 2 )ψ( x 1 )|Φ N
(14.131)
Montrer que ρ
(2) est antisymétrique dans l’échange x 1 ↔ x 2 (ou y 1 ↔ y 2 )e t
que la trace partielle sur la particule 2 est donnée par
Tr 2 ρ
(2) =
d
3 zρ
(2) ( x, , z; y, , z)=(N − 1)ρ
(1) ( x, , y )
Quelle est l’interprétation physique de ρ
(2) ( x, , y; x, , y) ? Donner l’expression de
ρ
(2) dans le cas de fermions indépendants et vérifier que Tr 2 ρ
(2) =(N −1)ρ
(1) .
3. On se propose d’obtenir l’équation d’évolution de ρ
(1) lorsque le hamiltonien est donné par (14.63). Montrer que la contribution de W à cette
évolution est
i∂
W
t ρ
(1) =
d
3 z [W ( z, x 1 ) − W ( z, y 1 )] ρ
(2) ( x 1 ,, z; y 1 ,, z)
et que l’équation d’évolution complète peut s’écrire sous la forme
i∂ t ρ
(1) =[h 1 ,ρ
(1) ]+Tr 2
[W,ρ
(2) ]
Suggestion : justifier l’égalité
x 1 x 2 |W | y 1 y 2 = δ
(3) ( x 1 − y 1 )δ
(3) ( x 2 − y 2 )W ( x 1 ,, x 2 )
L’équation d’évolution de ρ
(1) fait intervenir ρ
(2) , on montrerait de même que
celle de ρ
(2) fait intervenir ρ
(3) , etc. : c’est la hiérachie dite BBGKY
29 .
29. Born, Bogoliubov, Green, Kirkwood et Yvon.